¿Qué se puede averiguar de la estructura de un planeta sin un sismómetro?

Conocer la densidad media

Empecemos con los cuerpos de los que menos información tenemos es decir de los exoplanetas.

Hay dos técnicas fundamentales la velocidad radial y el método del tránsito que cubren el 96% de los descubrimientos. El primero mide el desplazamiento Doppler causado por la velocidad radial producido por el planeta sobre la estrella, conocida habitualmente por método de la velocidad radial. Este método aplicado desde observatorios en la Tierra permite averiguar sólo una masa mínima del planeta pues la cantidad que se averigua es el producto m sen (i) donde i es la inclinación de la órbita del planeta respecto al polo celeste. Un ángulo cercano a 90º hace que el planeta esté aproximadamente en la linea de visión Tierra-estrella y que el planeta transite. Mientras que la función sen (i) toma un valor entre 0 y 1 de ahí que se conozca sólo la cota inferior de la masa. Esto permite averiguar poco de la estructura pero permite afirmar que si m sen(i) es menor de 4 masas de la Tierra (en adelante Mt) es bastante probable que sea terrestre con una superficie sólida o líquida y en caso contrario lo más probable es que sea un gigante de gas. Hemos adoptado un valor medio del seno de 0,70 si admitimos un valor medio de la inclinación de 45º. Bien hecho el valor medio del seno entre 0º y 90º vale 2/𝜋 es decir 0,63. Esto es aplicable a una población de planetas y nunca a uno aislado. Porque nada impide que sea poco masivo y muy grande o muy masivo pero pequeño. Es decir claramente hay una ambigüedad si sólo detectamos el planeta por velocidad radial.

El método del tránsito detecta la fluctuación de la luz de la estrella cuando el planeta pasa por delante de ésta y la transita. Permite conocer el radio del planeta y la inclinación de la órbita i. Tenemos un problema similar pero se admite que valores del radio inferiores a 1,5 Rt son terrestres y valores mayores que 4 Rt son gigantes de gas mientras en la población intermedia la probabilidad p de ser terrestre cambia entre 1 y 0 y la de ser gigante de gas es la contraria 1-p. El método del tránsito es el usado por las naves Kepler y Tess y también desde telescopios terrestres.

Conocer un exoplaneta por los dos métodos permite conocer a la vez masa y radio y por tanto su densidad media que es un factor clave para averiguar la estructura de un planeta. Pero sólo se conocen ambos datos para aproximadamente un 6% de los exoplanetas descubiertos. La razón es sencilla. La mayor parte de los exoplanetas por tránsito los ha descubierto Kepler y muchos de ellos están tan lejos que la técnica de la velocidad radial no es aplicable. Por otra parte la probabilidad de que un planeta transite disminuye con la distancia media a del planeta a su estrella. Así que hay muchos planetas como Proxima b no transitan y sólo sabemos su masa mínima.

Diagrama radio-masa

Hemos dicho que si descubrimos el exoplaneta por ambos métodos conocemos su masa y radio y por tanto su densidad. Esto permite dibujar cada planeta como un punto en un diagrama radio-masa y trazar isolineas de igual densidad o para una composición dada del planeta, lo que es más difícil, pues requiere conocer el comportamiento del material a las elevadas presiones que hay en el interior de un planeta.

Las isolíneas de densidad unen puntos radio, masa de cuerpos con la misma densidad. Son muy fáciles de dibujar. Basta con tener presente que la masa es proporcional al cubo del radio siendo la constante de proporcionalidad la densidad. Si expresamos la densidad tomando como unidad la densidad de la Tierra 𝜚t=5,51gr/cm³ y el radio en radios de la Tierra, la masa aparece en masas terrestres. Se usa la expresión inversa porque en el diagrama el eje y lo ocupa el radio.

No se pueden estudiar en un mismo diagrama todo los tipos de exoplanetas y hemos elegido un diagrama donde tienen cabida los cuerpos hasta una masa de 70 Mt sabiendo que a partir de 50 Mt son jupíteres pequeños. Si hubiésemos escogido la distribución de los jupíteres hubiésemos visto una clara separación pues hay un agujero que va desde las 4,56 Mj y las 7,24 Mj entre los cuales no hay casi ningún exoplaneta. La mayoría de los jupíteres de más masa (excepto uno) tienen densidades mayores. Los de menos masa entre los que están Júpiter y Saturno en nuestro Sistema Solar alcanzan algunos la densidad de 0,1 gr/cc impensables en cuerpos tipo neptuno ligero. Las tierras con densidades de 10gr/cc y las supertierras con densidades medias mayores que unos 15 gr/cc deben ser errores de medición. A medida que una tierra o supertierra se hace más grande la compresión aumenta y la densidad crece. Pero al contrario de las estrellas no hay ningún mecanismo que comprima la materia hasta límites como la estrella de neutrones. Hay quien opina que las megatierras no existen. Es decir no hay cuerpos de más de 10 Mt con superficie sólida o líquida.

Entre los planetas con masa menor de 50 masas de la Tierra, a grandes rasgos se distinguen dos grandes grupos: los que tienen un radio inferior a 2 veces de la Tierra que tienen más probabilidad de tener una superficie sólida o planetas terrestres y los que tienen un radio mayor que 2 veces el de la Tierra que tienen más probabilidad de ser planetas gigantes sin superficie sólida. Con menos de 2 masas terrestres tenemos las tierras y las tierras densas que serán excepto los supermercurios, errores de medición. Puede haber neptunos ligeros de cualquier masa siempre que su radio supere una determinada cantidad. Debe superar los 6 radios para una masa de 17 y los 8 para una masa de 40 masas de la Tierra. De entre 10 y 50 masas tenemos megatierras, neptunos y neptunos ligeros. Aquí los planetas se han dibujado sin las barras de error.

Las mediciones de masa y radio de los exoplanetas contienen errores que se suman al determinar la densidad media. El rango de densidades de algunos planetas no permite discernir claramente su naturaleza y el valor central de la densidad indica poco. Conociendo pues masa y radio del exoplaneta excepto si los valores son buenos es a veces difícil decir ni siquiera su auténtica naturaleza. De todas formas mientras que en el Sistema Solar existen sólo tierras y gigante de gas como Júpiter, hemos podido apreciar que en exoplanetas hay tierras, supertierras, megatierras, neptunos ligeros, neptunos, jupíteres de dos poblaciones y enanas marrones y aunque se probase que algún tipo no existe, la variedad en exoplanetas es mucho más ancha que en el Sistema Solar.

En el Sistema Solar las masas y radios están bien determinados por lo que los errores en las densidades son pequeñas y su naturaleza queda claramente definida ¿Cómo se puede avanzar un poco más?

Diagrama radio-masa de supertierras y neptunos ligeros con distintas composiciones. La masa y tamaño de 55 Cnc e concuerdan con un planeta de carbono (Madhusudhan et al.).

El campo gravitatorio de un planeta

Un planeta crea a su alrededor un campo de fuerzas donde en cada punto del espacio existe una aceleración de la gravedad g que representa la fuerza con que el planeta atrae a la unidad de masa. En el campo gravitatorio no caben las trampas y llevar un cuerpo entre dos puntos situados a distinta altura cuestan siempre el mismo trabajo se haga por el camino que se haga: elevando el cuerpo verticalmente o con un plano inclinado. Se dice que el campo gravitatorio es conservativo  lo que significa que podemos sustituir el campo gravitatorio vectorial por un campo escalar V (en cada punto en vez de un vector, 3 números, hay sólo un número) llamado potencial gravitatorio (similar al campo de la presión atmosférica de los mapas del tiempo) y donde la variación del potencial por unidad de longitud es la aceleración de la gravedad g (o el viento en el símil meteorológico). Si el planeta está concentrado en un punto el problema es sencillo y quizá recuerdes de Bachiller que el potencial de cada punto P es inversamente proporcional a la distancia entre P el punto donde se concentra la masa. La constante de proporcionalidad depende de la masa M del planeta. 

Pero si el cuerpo es extenso cada elemento del cuerpo interviene en el potencial y hay que extender la suma a todos ellos (lo que queda fuera de esta entrada) resultando una suma de infinitos términos cada uno de menor importancia.

Explicaremos que ocurre a esos términos según la geometría del cuerpo que causa el potencial:

• Si el cuerpo tiene simetría esférica los términos de orden superior se anulan y la expresión del potencial es la expresión elemental como si la materia se concentrase en un punto.

• Si el cuerpo es simétrico respecto al eje de rotación z como ocurre aproximadamente para la Tierra, el potencial no depende de la longitud como parece lógico por su simetría. El potencial es inversamente proporcional a r pero hay unos términos correctivos  que dependen de a (radio ecuatorial) y de unos  polinomios de Legendre, Pn (sen D), que son función del ángulo D entre el punto P y el plano del ecuador. Cada uno con un coeficiente Jn denominados armónicos. Así J₂ es el segundo armónico que para el caso de la Tierra vale J₂=1,082x10⁻³. El coeficiente J₂ mide el achatamiento polar. Generalmente es el más sencillo de encontrar. Quedados en segundo orden el potencial es simétrico respecto al ecuador.

Si hubiéramos seguido el desarrollo hubiéramos encontrado a J₃ que al no ser nulo hace que el plano del ecuador no sea de simetría por lo que la Tierra tiene forma de pera. Precisamente la nave Juno que orbita Júpiter está intentando calcular estos parámetros. Las naves que han orbitado Marte ya la han hecho y resulta que Marte presenta elipticidad en el ecuador como es el caso de la Luna y algunos exoplanetas que están cercanos al límite de Roche de su estrella y por tanto tienen su rotación parada. Su forma es similar a un elipsoide de tres ejes con el eje mayor ecuatorial apuntando a la estrella el segundo eje ecuatorial perpendicular a él y el tercer eje de giro con una rápida rotación pues ésta es igual a la traslación y apenas dura unas horas o un día a lo sumo. Ahora V es función de r, de la latitud y de la longitud planetaria. Ahora además de los J_n aparecen otros coeficientes C_nm y S_nm que multiplican a unos polinomios de Legendre más complejos llamados asociados.  El objetivo es que comprendas que las cosas no son sencillas. 

Si podemos encontrar estos coeficientes de las propiedades de las órbitas de sus lunas o de una nave espacial, entonces la situación puede, en principio, ser invertida con el fin de encontrar la distribución de masa dentro del planeta necesario para producir estos coeficientes. Los datos de la Mariner IX (la primera nave en órbita de Marte) mostraron que el campo gravitatorio de Marte es considerablemente más irregular que el de la Tierra y la Luna. Los términos de orden superior y las términos dependientes de la longitud, son debidos a las desviaciones respecto al achatamiento causado por la rotación y las fuerzas de marea. Se trata de la  anomalía gravimétrica más importante que se ubica en la región de Tharsis que afectan a la distribución de masa en el planeta.  Dan una medida de hasta que punto las fuerzas distintas de  la gravedad y rotación influyen en el campo gravitatorio, como por ejemplo las corrientes emergentes del manto etc. Los coeficientes del desarrollo  armónico mejor determinados para Marte son J₂=(1,96±0,01)x10⁻³ , C₂₂=-(5,1±0,2)x10⁻⁵ y S₂₂=(3,4±0,2)x10⁻⁵. Su determinación  está limitada a la Tierra, Luna, Venus, Marte, y los asteroides Eros, Vesta Itokawa y Ceres y el cometa Churyumov-Gerasimenko donde el hombre ha puesto en su órbita navíos espaciales.

La rotación de los planetas

¿Cómo podemos saber algo más, si no hemos observado con detenimiento el campo gravitatorio? Afortunadamente los planetas giran en torno a un eje. Una de las características comunes de todos los cuerpos celestes es su rotación alrededor de un eje con un movimiento relativamente uniforme. Esta rotación provoca un achatamiento del planeta por el polo y un abombamiento ecuatorial debido a la fuerza centrífuga. Pero dos planetas con el mismo giro y dependiendo de su estructura interna pueden presentar achatamientos distintos según su composición interna. De los conceptos implicados en los cuerpos en rotación se hablará en esta entrada.

La física de la rotación

No estará de más que recordemos algunas cuestiones de física elemental del movimiento circular. Para entenderlo más fácilmente es típico establecer una analogía entre el movimiento rectilíneo y circular. El espacio recorrido en el movimiento rectilíneo es similar al ángulo girado en el circular y la velocidad lineal a la velocidad angular w que en el caso de la Tierra es de unos 15º/hora en unidades prácticas aunque su unidad natural es el radián/seg. Hay una relación entre las medidas lineales y las angulares y es que siempre hay que multiplicar las angulares por el radio de giro para obtener las lineales.
La ley de la inercia del movimiento rectilíneo significa que si no se ejerce ninguna fuerza sobre un cuerpo éste continuará en movimiento uniforme siempre y se traduce en el movimiento circular en que sobre un cuerpo que gira si no actúa ningún par de fuerzas este seguirá siempre con su movimiento circular uniforme. El par de fuerzas se provoca haciendo una fuerza F a una distancia r del eje de giro.
La segunda ley de Newton: en el movimiento rectilíneo establece que una fuerza continúa y constante provoca en el cuerpo una aceleración que es directamente proporcional a la fuerza. A la constante de proporcionalidad se le llama masa inercial m. Si es un planeta el que establece la fuerza (peso) se provoca una aceleración de la gravedad g. A la constante de proporcionalidad se le llama masa gravitatoria y ambas masas son iguales y es lo que se denomina masa del cuerpo. En el movimiento circular, es el par de fuerzas M, el que provoca un movimiento circular uniformemente acelerado con aceleración angular 𝛼 . A la constante de proporcionalidad se le llama Momento de Inercia I y al igual que la masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación, el momento de inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. El momento de inercia del cuerpo depende del eje en torno al cual gire.
En un sistema aislado la conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal que es el producto de la masa por la velocidad (p=mv) tiene por equivalente la conservación del momento angular (c=Iw) del movimiento circular. Es por esto que al igual que un patinador consigue aumentar su velocidad de giro cuando repliega sus brazos y disminuye su momento de inercia, una estrella cuando sufre su colapso gravitacional y disminuye su tamaño aumenta su velocidad de giro.
La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es 1/2mv², mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es 1/2I ω², donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

Momentos de inercia

En principio asumiremos que el momento de inercia (I) es un número. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular al someterlo a un par de fuerzas. Dado que el momento es la fuerza por la distancia al eje de giro y la aceleración angular es la lineal dividido por el radio, el momento de inercia es la masa por el cuadrado de las distancias al eje de giro. Dado que las distancias cambian para cada elemento de masa, habrá que considerar el cuerpo descompuesto en partículas mi cada una de las cuales dista del eje de giro una distancia ri de forma que cada partícula contribuye al momento de inercia como mi ri² y hacer la suma para todas las partículas del cuerpo lo que se expresa:

  I=∑mi ri². 

Como los cuerpos son continuos se trata de una integral lo que escapa de las posibilidades de esta entrada. Daremos pues algunos resultados del momento de inercia. La Tierra es aproximadamente una esfera y aun con más aproximación un elipsoide de tres ejes que gira sobre su eje menor c mientras su ecuador es una elipse de ejes a y b casi iguales es decir es casi un circulo de radio a. El momento de inercia de una esfera de radio R respecto a un eje que pase por su centro vale I=2/5mR² y el de un elipsoide girando alrededor de su eje menor c es I=1/5 m(b²+a²); Si a=b→ I=2/5ma².
Pero hay dos diferencias básicas entre la masa y el momento de inercia:

En un movimiento rectilíneo la masa es siempre la misma, mientras que en uno circular el momento de inercia aparte de la distribución de masas depende de la posición del eje de rotación en el cuerpo y de su orientación. El momento de inercia es mínimo si el eje pasa por el centro de gravedad o centro de masas (cdm). Éste es una media ponderada de la posición de las masas y en el caso de un cuerpo homogéneo coincide con el centro geométrico. La Tierra no es homogénea pero por su simetría el cdm coincide con el eje de la Tierra. Habrá que ver la orientación adecuada ya que I depende de la orientación del eje de rotación.

En un movimiento rectilíneo la fuerza y la aceleración o el momento lineal y la velocidad son siempre paralelos y por tanto la constante de proporcionalidad, la masa, es un escalar siempre. Mientras que el momento angular, en general, no tiene por qué tener la misma dirección que el vector velocidad angular. Sólo lo serán si la Tierra es homogénea y perfectamente esférica. Si el sólido presenta una simetría de revolución y gira entorno al eje de simetría, o en casos todavía más generales, entonces ambos vectores no tienen la misma dirección y el momento de inercia no es un escalar. Cabe hablar de un tensor de inercia o lo que es lo mismo una matriz simétrica. Ello se escapa de las posibilidades de esta entrada. Es una tabla de números (matriz 3x3 simétrica) es decir 6 números ya que al ser simétrica I₁₂=I₂₁, I₁₃=I₃₁; I₂₃=I₃₂, donde en los subíndices el primer número indica la fila y el segundo la columna que ocupan en la tabla.

• Si el cuerpo tiene simetría esférica todos los ejes son principales. Entonces el momento de inercia es un escalar. La tabla (3x3) tiene sólo tres números los de la diagonal principal y son iguales (I₁₁=I₂₂=I₃₃=I). 
• Si el cuerpo tiene simetría de rotación, como casi pasa con la Tierra y Marte, un eje principal está en la dirección del eje de giro (I₃) y los otros dos son perpendiculares entre sí y caen sobre el ecuador en cualquier dirección (I₁=I₂). El momento de inercia no es un escalar. Es similar al caso anterior pero de los tres números de la diagonal principal dos son iguales (I₁=I₂) y el tercero distinto (I₃).

Ejes principales

El problema que se plantea es, si existirán unos ejes que llamaremos principales respecto de los cuales el momento de inercia adquiera una forma más sencilla. Todos los números fuera de la diagonal llamados productos de inercia son 0, por ejemplo I₁₂=I₁₃=I₂₃=0 y sólo son distintos de 0 los elementos de la diagonal (I₁₁=I₁ ; I₂₂=I₂ ; I₃₃=I₃) lo que se llama matriz diagonal . 

Y la respuesta es que sí: 

Volveremos a este punto en otra entrada (la que trate de los movimientos del eje de giro del planeta: Precesión, Nutación y bamboleo de Chadler).

El achatamiento f de un planeta

Una consecuencia del giro de los planetas y satélites es su abombamiento ecuatorial o achatamiento del disco (f) que hace que el radio polar sea inferior al ecuatorial. La primera prueba la obtuvo en 1672 Jean Richer en su expedición a Cayena en el Ecuador. Pretendían mediante observaciones simultáneas de Marte desde París (Cassini) y desde Cayena (Richer) averiguar la distancia a Marte usando de base la distancia entre las dos localizaciones. Pero Richer tuvo problemas al determinar la hora con su reloj de péndulo pues al ser la aceleración de la gravedad g menor el periodo del péndulo era mayor y éste atrasaba sistemáticamente. Newton atribuyó acertadamente esta disminución de g al abombamiento ecuatorial producido por la fuerza centrífuga causada por su rotación.

La Tierra y Marte como una aproximación sencilla pueden asemejarse a un elipsoide de revolución, donde su eje menor c, el polar es en torno al cual giran y perpendicular a él está el ecuador que es una circunferencia perfecta de radio a. El achatamiento f se define:

f=(a-c)/a  y suele expresarse como un inverso.

Las respectivas medidas son:

La rapidez de giro o parámetro q

Los planetas tienen un periodo de rotación que son 23h 56m 4s en el caso de la Tierra y de 24h 37m 23s. Ello determina unas velocidades angulares de giro de 15,04º/h=0,2625 rad/h para la Tierra y 14,62º/h=0,2552 rad/h para Marte, donde se ha tenido en cuenta que 180º=𝞹 radianes.

El parámetro q es otra medida de la velocidad de giro. Se puede definir q como el cociente entre la aceleración centrifuga y la atracción en el ecuador, así q=1 representaría a un planeta girando de tal manera que la fuerza centrífuga en el ecuador compensaría su atracción gravitatoria. Así que si a es el radio ecuatorial resulta que q es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad angular w y al cubo del radio a e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Para la Tierra resulta q=0,003459 y para Marte q=0,004585.

La estructura del planeta: El parámetro J

La estructura del planeta viene especificada por los parámetros J_n, C_nm y S_nm en que se desarrolla el potencial gravitatorio de un planeta. Recordemos que si el cuerpo tiene simetría de revolución nos quedamos con J_n. En primer orden nos quedaremos sólo con J₂ que vale J₂=1,082x10^-3 para la Tierra y  J₂=1,96x10^-3 para Marte. El coeficiente J es 3/2 J₂. Puede demostrarse que:

J₂=(I₃-I₁)/Ma²

Relación entre el achatamiento f y el parámetro q

Hay una relación entre los parámetros f y q. Pero parece lógico que dicho achatamiento sea mayor cuando mayor es la velocidad angular del planeta o satélite o mayor es el parámetro q. Aunque también parece lógica una dependencia de la estructura del planeta es decir para un mismo valor de q no tienen porque en dos planetas distintos tener el mismo achatamiento. Se puede demostrar que

f=q/2+J

Podemos considerar dos modelos extremos de estructura planetaria: 

• El Esferoide Roche (1873) tiene un núcleo central infinitesimal en volumen pero con toda la masa y está rodeado de una atmósfera de volumen finito y masa infinitesimal, en este caso J=0 pues I₁=I₃ por lo que f=q/2. 
• El Esferoide Mac-Laurin supone que el planeta tiene densidad constante es incompresible y con eje de simetría polar. Sus propiedades han sido estudiadas por eminentes físicos. Se puede demostrar que en primer orden en f resulta J=3/5f por lo que resulta que f=5/4q así que f es inversamente proporcional al cuadrado del periodo de rotación del planeta.

Para cuerpos reales el Coeficiente de Clairaut f/q está entre los valores 0,5 y 1,25. En el Sistema Solar de los cuatro planetas terrestres Mercurio, Venus y la Luna giran demasiado despacio para presentar achatamiento. Los máximos achatamientos los presentan los planetas gigantes que encima giran rápido pues tienen mucha masa.

Para Marte y la Tierra los coeficientes de Clairaut valen 1,1304 y 0,9712 lo que significa que la Tierra es mucho más diferenciada que Marte.

 El gráfico refleja en un diagrama doblemente logarítmico la ubicación de los planetas Tierra (T) Marte (M) Neptuno (N) Urano (U) Júpiter (J) y Saturno (S) en un diagrama achatamiento planetario (f) contra rapidez de giro (q). Todos los planetas se hallan entre el límite de Roche (línea roja inferior) y el límite Mac-Laurin (línea roja superior).

El parámetro k2

El parámetro k₂ se define como la relación entre el momento de inercia alrededor del eje z y el valor de Ma² donde a es el radio ecuatorial y M la masa del planeta. El momento de inercia es I₃=k₂.M.a² donde k₂ depende de la estructura de cada planeta. Varía muy poco desde 0,188 para Saturno hasta 0,3731 para Marte. Para la Tierra vale k₂=0,334. Un valor de 2/5=0,4 equivale a un cuerpo homogéneo (modelo Mac-Laurin) y 0 (modelo Roche) a un cuerpo con toda su masa concentrada en un punto. El coeficiente k₂ es una magnitud sin dimensiones que mide igual que el coeficiente de Clairaut el grado de concentración de la estructura planetaria. Sin embargo parece que el coeficiente de Clairaut esta más relacionado con la geometría (achatamiento geométrico) mientras k₂ esta más relacionado con la dinámica. Así entre ambos no se puede establecer una correspondencia.

Hemos visto la definición de achatamiento geométrico f, se puede definir el achatamiento dinámico como 

𝝴 =(I₃-I₁)/I₃

Ambos achatamientos no tienen porque coincidir aunque son muy parecidos en todos los planetas excepto Saturno. Para la Tierra veremos que 𝝴 = 1/308,6 y para Marte 𝝴 = 1/184,4. Si coincidieran (𝝴 =f) y asumimos la identidad de ambos achatamientos entonces J₂=fk₂ y de ahí el raro subíndice de k_2.

Cálculo de los momentos de inercia

De las fórmulas dadas se puede calcular I₃ ya que depende de la masa del planeta M el radio ecuatorial a y el coeficiente k_2. De los valores de J₂ se puede calcular J y de ahí la diferencia I₃-I₁ y por tanto I₁ y el achatamiento dinámico 𝜀.

Cálculo de K₂ para una estructura dada

Ahora nos faltaría calcular k₂ para una estructura planetaria diferenciada dada que supondremos esférica. Las densidades están en gr/cm³ y los radios en unidades del planeta.

Modelo Tierra: El núcleo interno: r = 0,19, 𝜌= 12,8; el núcleo exterior: r = 0,55, 𝜌= 11,2; el manto interior: r = 0,895, 𝜌 = 4,9; el manto superior: 𝜌= 3,6.

Calcular k₂ cuando te dan la estructura con sus radios y densidades es muy fácil. Ellos ya se habrán preocupado de que la densidad media del cuerpo sea la adecuada. Calcular la masa del planeta en estas unidades es fácil. Para calcular el momento de inercia el método más sencillo consiste en considerar desde fuera hacia adentro esferas completas de densidad la de la capa más externa y aplicando la contribución de la esfera al momento de inercia como

I(capa)_i=2/5m _i r _i ²=8/15pr _i r _i ⁵

Para calcular la contribución de la segunda capa de densidad r₂ la contamos como una esfera completa  de densidad r₂-r₁ pues al considerar la capa exterior ya la hemos añadido con densidad r₁ y estamos añadiendo lo no considerado etc. Luego tendremos que sumar los momentos de inercia de las distintas capas. Aunque sea más complicado es útil seguir este mismo esquema para calcular la masa.

 I(capa)_i+1=2/5m _i+1 r  _i+1 ²=8/15p(r _i+1 - r _i )r _i+1 ⁵

El cálculo se puede disponer en una sencilla hoja de cálculo.

El modelo de Marte

Marte ha sufrido tras su acreción dos periodos distintos de diferenciación. En el primero, el más importante, la temperatura interior creció suficiente por la desintegración de elementos radioactivos y calentó el interior del planeta hasta que se fundieron el hierro metálico y el sulfuro de hierro hundiéndose hacia el centro y formando un núcleo. Las medidas realizadas por las naves espaciales del campo magnético marciano han probado la existencia de dicho núcleo. En el segundo periodo unos 1.000 millones de años después lo que se fundió y diferenció fue el manto. El material menos denso rico en silicio y  aluminio formó la corteza y el más denso y carente de estos elementos el  manto. El vulcanismo formó la atmósfera del planeta.

A partir de la densidad media y del momento de inercia puede definirse la estructura de un modelo de Marte con núcleo y manto. Asumiendo que la masa del planeta es 0,1061Mt y el radio 0,5326 veces el radio, que k₂=0,359 y la densidad media de Marte es 3,8731 gr/cm³  pueden estimarse distintos ajustes entre el tamaño del núcleo y las densidades. Primero asumimos una fracción del núcleo digamos 0,35 y buscamos el mejor valor de las densidades del manto y núcleo para que k₂ sea el correcto. Para cada valor del tamaño del núcleo fijado arbitrariamente hay un valor para la densidad del manto. Nos tenemos que preocupar de que la densidad del núcleo sea la adecuada para conseguir la densidad media de Marte correcta. Así dado r y 𝜌_m la densidad del núcleo debe ser

Asumiendo dos valores para la fracción del núcleo de 0,35 y 0,55 calcula el mejor ajuste de las densidades del manto y núcleo para que k₂ sea 0,359. R es el radio del planeta.

Para cada r hay que ir variando 𝜌_m para que el momento de inercia sea el adecuado I₃=2,6154x10³⁶ kgm² de modo que k₂=I₃/M R². Hay que llevar cuidado con las unidades y multiplicar r por R y por 1.000 para que el resultado sea en metros.

El mejor ajuste para r=0,35 se halla en una densidad del manto de 3,421 gr/cm3 y del núcleo de 13,966gr/cm³.

Así repetimos el proceso para otras fracciones 0,4 etc hasta 0,6. Por ejemplo para 0,55 de fracción el mejor valor de las densidades del manto es 3,304 gr/cm³ y núcleo 6,725 gr/cm³.

Ahora podemos resumir para  diferentes fracciones del núcleo las densidades del manto, núcleo y el porcentaje de masa que representa el núcleo.

Facilita para diferentes valores de la fracción del núcleo desde 0,35 hasta 0,60 y calcula el mejor ajuste de las densidades del manto y núcleo para que k₂ sea el correcto y las fracciones de masa del núcleo y manto. También indica la situación de equilibrio para la composición del núcleo más probable. 

Vemos que puede existir un núcleo pequeño y denso o grande y liviano, pero hay algunas composiciones que nos permiten acotar su tamaño. El valor 0,35 de la fracción del núcleo representa un valor mínimo pues conduce a un densidad del núcleo superior a la del hierro, quizá un valor de 0,45 esté mas acertado. La densidad mínima del núcleo es una composición de sulfuro de hierro puro (SFe) que daría una densidad de sólo 4,84 gr/cm³ . Esto es bastante improbable porque para alcanzarla el núcleo debería ocupar el 81 % del radio y el manto tendría una densidad de 2,77 gr/cm³ ocupando el núcleo el 66,5% de la masa del planeta. Asumiendo constituyentes del núcleo medios para las condritas carbonáceas formados por  un 58,1% de hierro un 32,2% de SFe y 9,7% de níquel la densidad media del núcleo sería:

Como vemos a medida que la fracción crece la densidad del núcleo central decrece a 0,53 es 7,029 gr/cm³ y a 0,54 es 6,870 estando entre ambos. A 0,535 es 6,948 por lo que esta en el intervalo 0,530 y 0,535. La solución es 0,532 y entonces la densidad del manto es 3,320 gr/cm³ y la del núcleo 6,993 gr/cm³ ocupando el 27,2% de la masa del planeta. Esto representa un núcleo de 1805 km. Mars InSight nos dirá que valor del núcleo es la adecuada.

Existen además varios indicios de que este núcleo es, al menos parcialmente, líquido: de un lado, la deformación del planeta a causa de las mareas solares, y por otro el gradiente térmico superficial. Marte puede ser un excelente ejemplo de capacidad de los núcleos planetarios de permanecer fundidos a lo largo miles de millones de años.

Estructura interna de Marte que muestra la diferenciación del planeta. La corteza de unos 50 km en promedio, es rica en aluminio y silicio y pobre en magnesio y al igual que la Tierra y Luna tiene espesores muy variables. La desintegración de elementos radioactivos calentó el interior del planeta hasta que se fundieron el hierro metálico y el sulfuro de hierro hundiéndose hacia el centro y formando un núcleo. Hay varias combinaciones  posibles con un núcleo más pequeño y denso u otro más ligero y grande. El manto está formado de silicatos de hierro y magnesio. A lo largo de la historia de Marte por vulcanismo parte del material más ligero ha llegado a la superficie especialmente del hemisferio norte formando inmensas llanuras de lava. Las plumas calientes que ascienden del interior son bastante fijas en el tiempo y han creado enormes estructuras volcánicas que son las más altas del Sistema Solar.

Relación entre la energía de rotación y la masa en el Sistema Solar

De los planetas en nuestro Sistema Solar, cinco rotan libre y rápidamente y en la misma dirección que orbitan alrededor del Sol, son Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno. La Tierra ha sido frenada en su rotación por la Luna, Mercurio por el Sol, mientras que Venus presenta una rotación lenta y retrograda. Entre los planetas del Sistema Solar que presentan una rotación primigenia existe una clara e inexplicable correlación entre la velocidad ecuatorial de rotación del planeta que varía de los 0,24 km/s de Marte hasta los 12,53 km/s de Júpiter y la raíz cuadrada de la masa del planeta. Esto significa que cuanto más grande es el planeta más velocidad ecuatorial tiene tanto por ser más grande como por girar más rápidamente. Que un planeta gire con la velocidad ecuatorial que le corresponde a su masa es tan misterioso como que la masa del agujero negro que está en el centro de cada galaxia sea una fracción exacta de la masa de toda la galaxia.  Esta misteriosa relación parece extenderse a planetas extrapolares que giran libremente y no son frenados por fuerzas de marea.

En el caso de la Luna que está en rotación síncrona con la Tierra el par de fuerzas que la frenan son causadas por la Tierra y el Sol. A su vez la Luna y el Sol ejercen sobre nuestra Tierra un par de fuerzas que frena la rotación de la Tierra.