El motivo de la entrada es dar conocimiento de la publicación por editorial Libros Encasa (peticiones a librosencasa.es apartado Ciencias) de mi libro titulado La resonancia y conmensurabilidad como explicación de la “ley” de Titius-Bode, subtítulo ¿por qué la “ley” de T-B (ahora “ley” de Dermott) causa tanta fascinación?
Portada libro
Fig. 1 Ajuste a Kepler-235. La razón es que ya figura en el libro.
Fig. 2 Ajuste a Kepler-296. La razón es que el sistema descubierto con sus 5 planetas en 2014 tenia en los dos planetas interiores valores muy diferentes del periodo y un error del 11%, pero en los datos de 2021 habían cambiado drasticamente los periodos de los dos planetas interiores e incluso intercambiado sus posiciones y el error era sólo de 1,63%.
Una obsesión que dura una vida
Toda mi vida he estado obsesionado por dicha “ley”. Mi historia ha evolucionado mucho. Desde los 19 años que creía que era cierta y hasta los cercanos 71 en que creo que es una ley falsa que causa fascinación porque algo de cierto hay, pasando por los 57 en que creí que era cierta dejando unos adecuados huecos, donde habría exoplanetas por descubrir, si se daban las condiciones de estabilidad adecuadas. Ahora sé que los sistemas planetarios no son en general completos y que los huecos están terminantemente prohibidos aunque los sistemas planetarios estén en general con muchos planetas por descubrir, que en general no estarán donde dice la “ley” de T-B que deberían estar.
Fig. 3 La idea en 1970 cuando tenía 19 años. Cierto que he cambiado mucho. El diagrama estuvo perdido y luego encontrado. Lo he enmarcado para que no se vuelva a extraviar.
No me siento en la obligación de explicar determinados conceptos, por lo que el que no los entienda, sugiero lea el resumen del libro donde sí me he preocupado de explicarlos.
Agradecimientos
Especialmente a mi esposa Sara que me soportó y ayudó a corregir gramaticalmente el libro. A toda mi familia: a mi padre próximo a cumplir los 100 años, a mi hija Raquel y mi yerno Anass, a mi hermana Ana, a mis amigos de Dimecres al riu, Paco Burguera que soportó las explicaciones, Ismael Civera que me animó a publicar el libro y me puso en contacto con el editor Nicolás García Herrero, y Encarni Higeño por su magnífico trabajo de edición.
Una cuestión personal
Ya he dicho que es una obsesión de toda mi vida que el libro (que no se si sirve) me ha ayudado a erradicar. Ahora soy feliz. El libro no se iba a publicar. Cuando lo escribí durante la pandemia de la COVID-19 lo escribí para mí. Era libre. Al tener que publicarlo tuve que quitar determinados acontecimientos. Aun así, quedan algunas críticas a gente que no conozco. Todos son científicos por lo que creo que como yo, siempre buscaban la verdad. He tenido que cambiar radicalmente de creencia con el fin de encontrarla, creo. Vaya mi reconocimiento a todos ellos.
No quiero olvidar a la doctora Lauren M. Weiss que en 2018 publicó Peas in a pod: Planets in the Kepler multi-planet system are similar in size and regularly spaced, donde trata muchas propiedades entre planetas contiguos, especialmente tamaño y masa diciendo que son similares y acuñando la frase de que los sistemas planetarios son como los guisantes en su vaina, todos parecidos en tamaño y masa y regularmente espaciados (en el logaritmo). Nosotros sólo estudiamos el espaciamiento (ella dice poco de esto), pero, por razones diferentes, los dos establecemos en 4, la razón entre los periodos para deshacerse de determinados sistemas que no cumplen la premisa. En mi caso, la resonancia 4:1 para diferenciar entre compactos, resonantes y conmensurables por una parte e inconmensurables por otra.
Sarah C. Millholand que en julio del 2022 publicó Edge of the multis: Evidence de una transición in the outer architectures of compact multi-planets system, aparte de suponer que los sistemas compactos siguen la tónica Weiss con planetas externos aun no detectados. Ve un truncamiento de esta estructura para periodos entre 100 y 300 días. Esto significa que como los sistemas cumplen la ley de T-B con un error medio de 3,24% y T0=6,914 días en promedio y r’=1,690 en promedio hay en los sistemas compactos una media entre N=6-8 planetas. Los sistemas que ahora son compactos dejarán de serlo y la ley de T-B con el paso del tiempo dejará de tener la importancia que ahora tiene (aunque no se la reconozca). Esto va en el mismo sentido que nuestras previsiones que fijan en general un menor cumplimiento en sistemas con muchos planetas.
Fig. 4 El error medio aumenta con el nº de planetas. La media del error medio de los sistemas resonantes o conmensurables con 7 planetas es cercano al 20%. Sin embargo, sólo conocemos a Trappist-1 con un error del 6,18%. Kepler-90 es representativo con su error de los sistemas conmensurables de 8 planetas.
Fig. 5 La explicación de por qué el error aumenta con el número de planetas.
Nosotros calculamos en N=10 planetas en los sistemas en general para que haya más sistemas inconmensurables que del resto.
Fig. 6 Figura del resumen del libro.
Ninguna base de datos
Ninguna base de datos de exoplanetas (por lo menos que yo conozca) filtra los sistemas por el número de exoplanetas. Uso fundamentalmente exoplanet.eu y no lo hace. Sólo el programa Exoplanet de Hanno Rein permite filtrar por sistemas múltiples con 2 o más planetas. Los de dos no me interesan porque sólo sirven para ver si la resonancia sigue los mismos patrones que en sistemas de tres o más planetas. Así que vamos a ojo. Todos los catálogos sí dicen el número de planetas, el número de sistemas planetarios y el número de sistemas exoplanetarios múltiples. Así el 29 de agosto de 2022, día en que no lanzaron la Artemis 1, había según exoplanet.eu 5.154 planetas, 3.802 sistemas planetarios 832 de los cuales eran múltiples.
Fig. 7 A fecha 25 de noviembre de 2019, había en exoplanet.eu 4.133 exoplanetas con 3.073 sistemas planetarios de los que 672 son múltiples. Esto significa que a esa fecha había 3073-672=2.401 sistemas planetarios con 1 exoplanetas y había 4.133-2.401=1.732 exoplanetas formando parte de sistemas múltiples. Es difícil mantener los datos y sólo hemos encontrado 652 sistemas múltiples con 1.646 planetas, lo que representa el 97,0% y 95,0% respectivamente. El que falten un 3% de los sistemas, no afecta a las conclusiones que obtengamos. Aparte del Sistema Solar con 8 planetas, hay en el trabajo 652 sistemas múltiples.
Datos erróneos
El caso paradigmático fue GJ 581, sin olvidar a 55 Cnc A y a la hora de escribir estas notas a Kepler-296 cuyos últimos datos de 2021 cambian totalmente la naturaleza del sistema.
GJ 581 tenía 6 planetas b, c, d, e, f y g, pero tres de ellos GJ 581 d, f y g fueron descartados en épocas diferentes, f y g poco después de su descubrimiento y GJ 581 d en 2014. Solo quedan 3 planetas que por orden de cercanía a su estrella (una estrella roja) son e, b, y c de periodos 3,14945 días 5,36865d y 12,9182d. Ello hace que sea un sistema resonante, con resonancias 5:3 y 5:2 y un error del 7,78% (ds=0,2) debido a la disparidad de dichas resonancias y en menos medida a lo que éstas se separan del valor nominal. Antes de eliminar los tres planetas teníamos a sólo 22 AL un sistema de tres supertierras en ZH, c en la parte interior, g en la parte central y d en la zona exterior de la Zona de Habitabilidad. La actividad de la enana roja contaminó la curva de velocidad y de ahí el error. Este es uno de los mayores errores en la reciente historia de los exoplanetas. El otro afecta a la estrella binaria 55 Cnc A, similar al Sol, tuvo durante mucho tiempo el record de planetas 5. Los planetas orbitan con periodos desde 0,73 a 5.218 días. El más pequeño y cercano a la estrella 55 Cnc e es el caso paradigmático de lo difícil que es determinar las características de los exoplanetas. Durante algún tiempo todo estaba mal: su periodo de 2,817 días, su distancia a la estrella, su masa. Ahora se llama Harriot es un mundo de lava de masa 8,3 veces la masa e la Tierra. El resto de planetas tienen masas que oscilan entre 45,8 masas Tierra (55Cnc f= Janssen) y 3,8 veces Júpiter (55Cnc d=Lippersey). Entre estos dos planetas que son los más externos hay un hueco enorme de va desde las 0,781 UA (como Venus) y 5,76 UA (como Júpiter). A pesar de aumentar mucho la sensibilidad de los espectrómetros que miden la velocidad radial, desde 2007 hasta la fecha no se ha descubierto ningún nuevo planeta en el sistema. Entre f y d el sistema tiene zonas de estabilidad por lo menos hasta la fecha, no ocupadas en este sentido es incompleto. El sistema 55 Cnc A tiene un error del 42,7% en los periodos. No parece que cumpla la “ley” de T-B.
El sistema Kepler-296 ha cambiado desde que se descubrió en 2014, sobre todo en los dos planetas interiores.
Fig, 8 Los datos del sistema Kepler-296 en 2014 y 2021.Básicamente lo que ha cambiado es el periodo de Kepler-296 b que pasa de 3,62 días a 10,86 días siendo ahora el más interno Kepler-296 c.
Fig. 9 Con ello el ajuste cambia radicalmente y el sistema pasa de conmensurable a compacto.
Resonancias, Conmensurabilidades e Inconmensurabilidades
Las resonancias de los movimientos medios es una conmensurabilidad entre los periodos de dos planetas que tiene consecuencias físicas como una mayor estabilidad del sistema. Son resonancias cuando la razón entre periodos son números sencillos (1:1, 4:3, 3:2, 5:3, 2:1, 5:2, 3:1, 4:1) etc. La resonancia 2:1 significa que el planeta interior da dos vueltas a la estrella cuando el exterior da una. Es muy improbable que se dé una resonancia, así que necesita una explicación y ésta es la migración planetaria.
Las resonancias tienen un orden que es la diferencia entre estos dos números que denotan su importancia y su fortaleza. Así, son de primer orden por ejemplo 3:2 y 2.1, de segundo 5:3 y 3:1 y de tercero 8:5 y 5:2. El orden de una resonancia no puede ser mayor que 3. El periodo de los satélites de Júpiter, Ganimedes y Calisto está próximo a la conmensurabilidad 7:3, que no es una resonancia. La resonancia Laplace es una relación de los periodos entre tres planetas que intenta evitar las conjunciones triples y que por tanto produce una mayor estabilidad. Además intenta colocar a los planetas en unas longitudes medias prefijadas. Se han determinado unas 3 resonancias Laplace en el Sistema Solar entre 3 de los satélites de Júpiter, Urano y Plutón y 16 en los sistemas exoplanetarios. Pero debe haber mucho más. Muchas resonancias Laplace son iguales dos a dos: por ejemplo los satélites de Júpiter Io, Europa y Ganimedes forman dos a dos sendas resonancias 2:1 y esta es también la resonancia Laplace. Pero ello no es necesario en nuestro Sistema Solar los satélites de Urano, Miranda, Ariel y Umbriel que forman una resonancia Laplace 2:1 mientras que dos a dos son la conmensurabilidad 9:5 y la resonancia 5:3. Esto daría un sentido a las conmensurabilidades.
Puede haber una crítica al libro y es que considera demasiado frecuentes las resonancias y da papel a las conmensurabilidades, pero el siguiente gráfico muestra algunas conmensurabilidades como 7:3 y 9:4.
Fig. 10 El gráfico figura en la tesis de Dra. Ximena Ramos, a quien agradezco las explicaciones sobre resonancia dadas en su tesis. Ella destaca con línea de puntos sólo las resonancias pero habría que ver las conmensurabilidades, especialmente la 9:4. Como dicen en Galicia sobre las meigas, haberlas hailas. Además, nominalmente los planetas siempre están ligeramente fuera de las resonancias.
Hay sistemas inconmensurables como 55 Cnc A pues la relación de periodos entre d y f es 20,01. Pero hay sistemas peores como HD 27894 con tres planetas, un cociente entre los planetas exteriores 143,44 y un error del 139,08%.
Con los datos actuales, un 72% de los sistemas planetarios son compactos, resonantes o conmensurables mientras el 28% restantes son inconmensurables.
Un ejemplo conocido: el Sistema Solar
Los exoplanetas están muy lejos y pueden ser incompletos en el sentido de faltar planetas aún no descubiertos. Pero este censo, es completo sobre todo los satélites regulares del Sistema Solar que son los que importan en este caso. En él los 4 satélites regulares de Júpiter cumplen bien la ley de T-B porque los tres más internos forman una resonancia Laplace 2:1 y dos a dos una resonancia 2:1 y el 4º una conmensurabilidad 7:3 de valor cercano. El error en la T-B lo introduce la disparidad de valores de las resonancias y conmensurabilidades y en mucha menor medida el que estén fuera de los valores nominales de las resonancias. Este segundo error puede eliminarse suponiendo sistemas ficticios que estén en las resonancias. La disparidad se mide con el parámetro ds. Cuanto menor sea ese valor, menor será el error T-B. En este caso ds=0,1579 y el error en el periodo 2,51%. La conmensurabilidad 7:3 no está causada por un satélite interpuesto. No hay un quinto satélite galileano interpuesto entre Ganimedes y Calisto. Análogamente, la conmensurabilidad 9:4 la podría causar un planeta intermedio aun no descubierto con resonancias 3:2 con el interior y exterior. Sabemos la distribución de exoplanetas en las cercanías de 3:2 y 9:4 así que podemos generar una distribución artificial 9:4 basándose en la 3:2 por 3:2 pero sólo hay un 6% de parecido entre la real y la artificial. La mayoría de planetas en conmensurabilidad 9:4 no tienen un planeta interpuesto. La "ley" de T-B es nula para predecir planetas.
Hay sistemas que cumplen la “ley” de T-B como los satélites de Júpiter y Urano y sistemas que no lo cumplen como los planetas del Sistema Solar y los satélites de Saturno si no dejamos huecos. Dejar huecos es como hacerse trampas en el juego del naipes del solitario.
¿Es posible fijar un error máximo en los periodos para fijar la validez de la T-B?
La contestación es no. Digamos que hay factores que la favorecen la no ley y otros que la perjudican.
1. El mejor hecho para que se cumpla la ley de TB es que el sistema tenga tres planetas en resonancia Laplace compatible con la ley de TB. Ello significa que es un sistema con dos resonancias iguales e igual a la resonancia Laplace. El error en el sistema ficticio sería 0 y el error real muy pequeño dependiendo de lo alejadas que estén las resonancias del valor nominal. La media es 0,172%. No hay ningún ejemplo real. Pero el sistema de satélites galileanos casi lo cumple.
2. Le sigue que el sistema planetario tenga 3 planetas resonantes Laplace con resonancias diferentes: El error medio es 2,429%. No hay ningún ejemplo real. Lo más cercano es Kepler-223 con 4 planetas y dos cadenas de resonancia Laplace no compatibles TB que afectan a todos los planetas y de errores TB 2,650% la primera cadena y 2,626% la segunda. El error del sistema real completo es 2,37%.
3. Lo siguiente que puede favorecer el cumplimiento de la ley de TB es que el sistema sea compacto. El error medio de este tipo de sistemas planetarios es de 3,46% y el error máximo es el 9,37% en los 75 sistemas compactos encontrados.
4. El siguiente hecho que favorece el cumplimiento de la ley de TB es que el sistema sea conmensurable y las resonancias o conmensurabilidades no sean muy diferentes. Esto lo mide el parámetro ds que tiene que ser pequeño. Si ds=0 el sistema tiene las resonancias iguales y cumple la ley de TB salvo lo que se separan de las resonancias. Hay 9 sistemas planetarios con estas características y el valor medio del error es 0,2274%. Esta es también la causa 1ª de cumplimento de la TB. Si las resonancias son distintas el error medio es <eps>=19,264ds+0,6771. El error medio de los 175 sistemas conmensurables es del 6,67 % y el máximo del 29,58%.
5. Esto es tanto más cierto cuantos menos planetas tenga el sistema, pues el tener muchos planetas desfavorece su cumplimiento según la expresión <eps’>= 0,2901N2+1,0812N-2,3344 siendo N el número de planetas: esto es un ajuste, está claro que si N=2 debe dar 0 y da aproximadamente 1. El Sistema Solar con 8 planetas le corresponde un error relativo medio del 24,88% y tiene un error relativo medio de 36,7%. El dejar un hueco entre Marte y Júpiter está diseñado específicamente para que se cumpla TB en el Sistema Solar.
Nota: Un caso interesante es Trappist-1 que tiene 7 planetas y 5 cadenas Laplace que afectan a todos los planetas. 4 no son compatibles con la TB y una cadena sí. El error relativo medio debería ser aproximadamente (4/5)x2,49+(1/5)x0,172=1,978% . El sistema es compacto y el error medio debería ser 3,31%. El sistema tiene un ds=0,220 y en sistemas compactos le corresponde un error del 4,833%. En el gráfico de los sistemas compactos, está por encima pues su error real es del 6,17% pero, por el número de planetas le corresponde un error medio del 19,45%. Trappist-1 es tres veces mejor que le correspondería por el número de planetas gracias a ser compacto y tener 5 cadenas Laplace. Si usamos la expresión general de los sistemas ficticios obtenemos para el ds=0,220 un error medio <eps’>=4,92% y si usamos la de los sistemas reales <eps’>=4,97% más cercano al valor real.
6. Los sistemas conmensurables tienen zonas de estabilidad estrechas pues su valor depende de una igualdad (=) frente a los sistemas inconmensurables cuya zona de estabilidad es ancha, pues depende de la desigualdad de Brett Gladman (>). Por eso los primeros tienen un error medio de 6,67 % y un máximo del 29,58% frente a los sistemas inconmensurables que tienen un error medio de 39,33% y un máximo del 139,08%
7. Los sistemas no conmensurables tienen por lo general un error grande, pero por casualidad puede haber sistemas con errores relativos medios pequeños. Sería la excepción que confirma la regla: El sistema no conmensurable con menos error es Kepler-166, un sistema de tres planetas y un error de 2,1%. El máximo del cociente entre periodos es 4,923. Todos los demás tienen un error superior al 10%.
Resumen del libro en 53 folios
Hay muchas más cuestiones a tratar: como que el error depende del orden de las resonancias, los sistemas de 4 planetas con dos resonancias o conmensurabilidades repetidas, tipos 7, 8 y 9 y que forman un sistema de los nucleones, sistemas con dos resonancias distintas que tienen un error máximo y mínimo, sistemas palíndromos como ABBA que tienen un solo error dependiendo del ds, sistemas planetarios del que todavía no hay ejemplos, el hecho de que tener una resonancia o conmensurabilidad puede depender de las que ya tiene (dependencia). Listado de sistemas planetarios, compactos, resonantes, conmensurables e inconmensurables, pero todo esto esta tratado en el resumen del libro que puedes descargarte gratuitamente, mejor aun en el libro titulado: La resonancia y conmensurabilidad como explicación de la “ley” de Titius-Bode, subtítulo ¿por qué la “ley” de T-B (ahora “ley” de Dermott) causa tanta fascinación?
