La resonancia en física
Hay
muchos ejemplos en física de la resonancia. Todos hemos visto como en la parte científica de El Hormiguero se rompen copas emitiendo un sonido con una frecuencia que iguala la frecuencia
de vibración natural de la copa o se apagan velas haciéndola coincidir con el
valle de la onda. Pero la resonancia es mucho más y hay ejemplos en casi todos
los campos de la física: en electricidad, en un circuito de corriente alterna
con una resistencia de valor R, un condensador de capacidad C y una bobina de inducción L, puestas en serie,
el circuito entra en resonancia cuando la frecuencia 𝞾 de la corriente alterna es tal que compensa los efectos del
condensador y la bobina y entonces la intensidad eficaz que atraviesa el
circuito es máxima. Cuando sintonizas una emisora de radio o televisión no
estás haciendo otra cosa que poner en
resonancia tu aparato electrónico de radio o televisión con la emisora que
emitió la señal, igualando las frecuencias. Pero el ejemplo arquetipo de
resonancia es el de la niña y el columpio. Supongamos una niña que se columpia
con un periodo de 2 segundos. Si su padre la empuja a periodos arbitrarios no
causará el mismo efecto que si la impulsa cada 2 segundos, pues entonces lo
hará de manera eficaz y causando el aumento de la oscilación. A esta
intensificación o amplificación de la fuerza que llega a afectar de forma
notable a sus movimientos se le conoce con el nombre de resonancia. Como es
lógico, la resonancia también está en la Astronomía. Hay muchos tipos de
resonancia pero aquí nos ceñiremos a sólo dos: Resonancia spin-orbita y Resonancia orbital y dentro de ella a la Resonancia orbital de Laplace que afecta a tres planetas o satélites y que la descubrió Laplace para los
satélites galileanos del Sistema Solar pero ahora es muy importante en la
estabilidad de los sistemas exoplanetarios, que veremos en el próximo escrito. Dejamos de lado con pena los Huecos de Kirkwood que causan la desaparición de asteroides a ciertas distancias resonantes con el periodo orbital de Júpiter y a los huecos en los anillos de Saturno (División de Cassini etc. ) creados por resonancias con los satélites de Saturno. Es decir los casos en que la resonancia es desestabilizadora para centrarnos en los que estabiliza el sistema.
Resonancia spin-órbita
Por resonancia spin- órbita nos referimos a la que
relaciona el periodo de rotación de una estrella o planeta y el periodo de
traslación a su alrededor de un planeta o satélite. Muchos de los satélites que
giran alrededor de un planeta presentan una rotación síncrona; es decir, tardan
el mismo tiempo en girar sobre sí mismos que alrededor del planeta. Se dice que
están en resonancia 1:1. Esto significa que el satélite presenta al planeta
siempre la misma cara. El ejemplo más llamativo es el de la Tierra y la Luna,
pero la inmensa mayoría de satélites están en esta situación. Entre ellos todos
los grandes satélites de Júpiter y Saturno. La razón es la fuerza de marea del
planeta ha parado el giro del satélite respecto a su planeta. Para ello el
satélite tiene que ser grande y estar cerca del planeta. La fuerza de marea se
debe a la diferencia de fuerza de atracción que el planeta ejerce sobre diferentes
partes del satélite. Es una fuerza diferencial, en el doble significado de la
palabra y por tanto disminuye con el cubo de la distancia, es decir más rápido
que la fuerza de la gravedad que sólo lo hace con el cuadrado. En el Sistema
Solar ningún planeta está atrapado en una resonancia spin-órbita 1:1. El más
cercano al Sol, Mercurio, tiene su periodo de rotación de 58,7 días, está atrapado en una resonancia 2/3
del periodo de traslación alrededor del Sol de 87,97 días. Dejando aparte a
Venus que gira de forma retrógrada y muy lento, el resto de planetas gira
libremente. Para los planetas exteriores del Sistema Solar se ha comprobado que
la
energía rotatoria por unidad de masa de los planetas se relaciona con la masa
de este. En resumidas cuentas los
planetas masivos giran más rápido que los menos masivos. La Tierra no
cumple la relación porque (ver Legado 5 del programa Apolo) ha sido frenado por la
marea lunar y por la conservación del momento angular ésta se aleja. Se explica
allí también el proceso de Plutón y su luna Caronte. En los exoplanetas la
inmensa mayoría han sido descubiertos por tránsito o velocidad radial lo que
favorece el descubrimiento de planetas cerca de
sus estrellas así que están, salvo unos pocos, frenados por marea presentando
la misma cara a la estrella lo que dificulta su habitabilidad.
Muchos de ellos tienen todos sus planetas más cerca que Mercurio del Sol lo que
convierte al Sistema Solar en bastante atípico.
Resonancia orbital de los movimientos medios
En mecánica celeste, se produce una resonancia
orbital cuando dos cuerpos en órbita tienen el cociente de sus periodos de
traslación cercana a una relación de números enteros sencillos. Es decir:
donde T₂ es el periodo del planeta
exterior, T₁ el interior y p y q números
enteros sencillos.
Por ejemplo, en nuestro Sistema Solar, Júpiter tarda
11,86257 años y Saturno 29,458 años: El cociente de sus periodos vale 2,4833,
próximo a 5/2 con un error relativo de 6,7x10-3 . Se dice que
Júpiter y Saturno están en una resonancia de 5/2 porque cuando Júpiter da 5
vueltas al Sol Saturno da 2 y cada 60 años se encuentran muy cerca ejerciéndose
una influencia gravitacional periódica que altera sus órbitas.
Fig 1.
El libro de Peter Duffett-Smith Practical
astronomy with your calculator nos habla de las fórmulas que aplicó Laplace
para corregir este efecto.
Laplace
fue un hombre que durante su vida, consiguió, aparte de en astronomía, muchos logros en física y es muy conveniente leer su biografía.
Si
p=q estamos en una resonancia orbital
1:1 y Joseph-Louis Lagrange descubrió que hay una situación gravitacional de equilibrio (los puntos L₄ y
L₅) cuando el Sol- Júpiter y L₄ o L₅ forman un triángulo equilátero. Los
asteroides troyanos ocupan estos puntos que preceden o van por detrás de Júpiter en 60º. Hay muchos
planetas y lunas que tienen troyanos. Hemos visto que aunque en el Sistema
Solar no hay, desde el punto de vista de la estabilidad planetas similares en
masa a Júpiter y Saturno podrían ser planetas troyanos. En este artículo podrás encontrar referencias aclaratorias a los Puntos de
Lagrange etc.
Si los periodos están cerca de una conmensuridad p/q
pero no hay o no se han detectado consecuencias físicas diremos que se trata de una cuasi-resonancia.
La diferencia entre resonancia y cuasi- resonancia
la hemos visto ya en la resonancia entre Júpiter y Saturno que afecta a la longitud de ambos.
Aparece claramente en los satélites galileanos. En 1610 Galileo Galilei descubrió los 4 satélites más grandes de Júpiter y poco después había publicado
unas efemérides de ellos. Los tres satélites interiores están en una resonancia
2:1 y el más exterior en una resonancia 7:3.
El
movimiento medio n de un satélite de
periodo T se define como
n=360º/T
es
decir los grados que recorrería el planeta por término medio en un día,
haciendo caso omiso a la segunda ley de Kepler. Pero la resonancia de los satélites
galileanos no es exacta:
T₂/T₁=2,00734 y T₃/T₂=2,01493
¿A
qué se debe el estar ligeramente fuera de la resonancia? En realidad la ecuación real de Ío (I),
Europa (II) y Ganímedes (III) es
Fig. 2 La
longitud del periastro es la suma de dos ángulos medidos sobre diferentes
planos: la longitud del nodo y al argumento de latitud del periastro.
En
el Sistema Solar o en sus sistemas de satélites hay muchas resonancias y
cuasi-resonancias. En los sistema de planetas extrasolares, como veremos en la segunda parte, aún hay más.
Resonancia de
Laplace
La
resonancia de Laplace hace que los periodos T₁, T₂ y T₃ de los tres satélites galileanos de Júpiter Ío (I) Europa (II) y Ganímedes
(III) están en una resonancia orbital 1:2:4. Es decir
Como hemos visto la resonancia no es exacta por lo que las dos cantidades no son exactamente 0. Por definición los tres cuerpos están en resonancia Laplace si estas cantidades no necesariamente 0 son iguales.
Es decir si
n₁-3n₂+2n₃=0
y
en efecto para los tres satélites galileanos, la combinación lineal de los
movimientos medios vale -0,005943172º/día.
Pero
la resonancia de Laplace no se limita
a los movimientos medios, si no que tiene implicaciones sobre la posición en la
órbita de los tres satélites galileanos. Laplace descubrió que las longitudes
medias donde λ ≡ Ω + ω + M de los tres satélites galileanos cumplían una
condición en sus longitudes:
𝜆₁-3𝜆₂+2𝜆₃=𝜋 rad=180º
La
resonancia Laplace tiene que ver con los periodos sinódicos de los satélites de
Júpiter. Puede demostrarse sin dificultad que el periodo sinódico de I y II es
T2=1/2 T3 , que el T sinódico de II y III es T3 y
el de I y III es 1/3 de T3. Los
tres satélites repiten su configuración cada T3=7,15 días en los
cuales hay 2 conjunciones de los satélites I y II, 1 conjunción de los
satélites II y III y 3 de los satélites I y III por lo que se establece que la
configuración de la resonancia Laplace es 2:1.
Obsérvese que los coeficientes de los movimientos
medios y de la longitud de libración son iguales al número de conjunciones.
En 1975 R. Greenberg
publicó On the Laplace relation among the satellites de Uranus donde expone la figura:
Así en el caso de Júpiter, Si II y III están en
conjunción y se considera que ésta es el origen de las longitudes I está en
oposición a ellos pues 𝜙=180º. La resonancia Laplace favorece la estabilidad del sistema pues es imposible que los tres satélites
galileanos estén próximos. Es imposible una conjunción triple. Esta ecuación
supone resonancias de tres cuerpos de orden cero que son, con mucho, las más
fuertes en el caso de pequeñas excentricidades (Gallardo et al. 2016). La
resonancia Laplace es estable a las perturbaciones y, por ello, es
dinámicamente significativo. Estas resonancias también son importantes para el
caos en el cinturón de asteroides (Nesvorný y Morbidelli 1998)
Dada
la geometría de las órbitas de la Tierra y Júpiter desde este último planeta la
elongación máxima de la Tierra F=11º (el ángulo máximo que forman los rayos del
Sol y la línea Tierra –Júpiter). Esto significa que es normal confundir
tránsito de un satélite por el disco y paso de la sombra y ocultación con
eclipse de un satélite.
Fig. 3 La Tierra vista desde Júpiter en su máxima elongación se separa sólo 11º del
Sol. Esto significa que durante todo el periodo sinódico de Júpiter de unos 13
meses dicho ángulo será menor.
Esto
da lugar a unas famosas reglas de Laplace que todo observador de los satélites
de Júpiter debe conocer y que caso de no tener las efemérides pueden ayudar en
la identificación:
1)
Jamas transitan o se ocultan/eclipsan simultáneamente los tres.
2a)
Empecemos por la que ya tenemos dicha. Si II y III simultáneamente se
ocultan/eclipsan entonces I transita.
2b)
Si II y III simultáneamente se transitan entonces I está oculto o eclipsado.
Fig. 4 Configuraciones de los satélites de Júpiter por Resonancia de Laplace según el libro Astronomía Popular de Camille Flammarion. Izquierda 2a y derecha 2b.
3)
Si I y II se ocultan/transitan simultáneamente entonces 2lIII =±180 y III está en la
máxima elongación oriental u occidental
Fig. 5 Configuraciones de los satélites de Júpiter por Resonancia de Laplace según el
libro Astronomía Popular de Camille Flammarion.
4)
Si I y III simultáneamente eclipsan o se ocultan 3lII =±180 y II forma ±60º con I
y III
Generalización de la
resonancia de Laplace
Supongamos
que los periodos T1, T2 y T3 de los tres
planetas o satélites estén en una resonancia orbital dos a dos del tipo
p/q>1. Es decir
Si
las resonancias son exactas, se cumplirá lo anterior, pero si no, cada cantidad
será distinta de 0 y por definición los
tres cuerpos están en resonancia Laplace si estas cantidades son iguales.
Es
decir si
En
la resonancia Laplace p:q no es preciso que p>q por ejemplo, veremos que la resonancia de
los satélites de Plutón es 2:3.
Ejemplo:
en el caso de los satélites galileanos p=2 q=1 y volvemos al caso
particular. Los satélites galileanos I, II, III están en resonancia de los
movimientos medios 2:1 dos a dos y también en resonancia de Laplace 2:1.
Otros ejemplos en el Sistema
Solar
1)
Los satélites regulares más
interiores de Urano
De los cinco satélites regulares de Urano los tres
más interiores (Miranda, Ariel, Umbriel) están en resonancia Laplace. Quillen y
French (2014) encuentran que las resonancias de tres cuerpos pueden ser
relativamente más importantes que las resonancias de dos cuerpos entre las
lunas interiores de Urano ya que las lunas están cerca de las resonancias de
movimiento medio.
Los periodos de los tres satélites son T1=1,4135dd
T2=2,5203 d T3=4,1442 d así que los movimientos medios
son n1=254,686947º/d n2=142,840138 º/d n3=86,8683944
º/d
El periodo sinódico de 1 y 2 es 3,2187 días, el de 2 y 3 es 6,4318
días y el de 1 y 3 es 2,1452.
Hay un múltiplo de los periodos sinódicos de 6,435 días con un error de 0,005 días. Cada 2 conjunciones de Miranda y Ariel hay 1 de Ariel y Umbriel y 3 de Miranda e Umbriel.
Miranda, Ariel u Umbriel están en una resonancia orbital de Laplace de valor p:q (2:1) es decir
cumplen la misma ecuación en n que
los satélites galileanos:
n₁-3n₂+2n₃=0
y la ecuación no da 0 si no -0,09667818 º/d. Ello
significa que cuando se produce la conjunción de Ariel y Umbriel, Miranda tiene
una posición algo retrasada respecto a la conjunción anterior, llegando a
producirse una conjunción triple cada 360/(0,09667818x365,2422)=10,19 años un
periodo lago dado que los periodos orbitales de los satélites son de pocos
días. El ángulo F no está pues limitado.
Tabla 1 El (*) significa el periodo sinódico de
Miranda y Umbriel.
Otro tema es la resonancia de los movimientos medios
T₂/T₁=1,78302087 y T₃/T₂=1,64432806. Aunque nos dicen que la resonancia 2:1 es
muy importante y ancha [1,83; 2,18] es claro que ambos valores quedan fuera. En unos
artículos de Tittemore, W. C.;
Wisdom de 1988 y 1990 titulados Tidal
evolution of the Uranian satellites: I y II habla de probables resonancias
pasadas y presentes entre Miranda-Umbriel
(3:1) y entre Ariel-Umbriel de
(5:3) lo que nos deje para Miranda–Ariel una relación actual de 3:1/5:3
de 9:5. Es decir dos resonancias en los movimientos medios distintas de 9:5 y
5:3 causan entre los tres satélites una resonancia Laplace 2:1.
Para explicarlo supongamos que T1, T2, T3
sean los periodos de tres planetas o satélites en resonancia Laplace p:q, se cumple
Para
el caso de los satélites de Urano r=9/5 s=5/3 p=2 q=1 el primero y segundo miembro
valen 5.
Si
r=s entonces la ecuación anterior se transforma en la ecuación qr²-(p+q)r+p=0 que tiene dos
resultados r=s=p/q y la trivial r=s=1.
Ahora
bien nadie ha usado en la demostración que r
y s sean racionales. De hecho no
lo son, la resonancia Laplace tiene el mérito de sacar ligeramente a los planetas de las
resonancias de los movimientos medios, para conseguir que las longitudes de los
exoplanetas cumplan una condición de libración que los mantenga más estables.
Los satélites de Plutón:
Estigia, Nix e Hidra
Plutón, como la Tierra, no debería tener satélites.
Si ambos cuerpos los tienen es porque sufrieron un choque brutal. Como
resultado tienen respecto a su masa los satélites más grandes conocidos:
Caronte y la Luna. Tanto es así que el sistema Plutón-Caronte puede
considerarse un sistema doble. Aunque en el choque brutal que permitió la
formación de la Luna no hubo subproductos, sin embargo la formación de Caronte
sí tuvo hermanos pequeños y Plutón tiene un sistema de satélites muy pequeños que
por orden de lejanía son Caronte,
Estigia, Nix, Cerbero e Hidra.
La rotación de la Luna y Caronte ha sido totalmente
frenada. Están en resonancia spin-órbita 1:1 y presentan siempre la misma cara
a la Tierra y Plutón respectivamente. Como
dijimos en el Legado 5 la Tierra ha sido frenado por la marea lunar y por la
conservación del momento angular la Luna se aleja. Mientras la Luna se aleja,
la Tierra se frena pero no llegará a escapar de la gravedad terrestre. A 558.650 Km la Luna
dejará de alejarse porque la Tierra estará totalmente frenada respecto a la
Luna. El día en la Tierra duraría 47 días actuales. Todo esto no ocurrirá
porque el tiempo necesario para alcanzar esta configuración supera la edad
actual del Universo y mucho antes en unos 6.000 millones de años el Sol morirá.
Todo esto se explica en el Legado 5 y allí también dijimos que este mismo
proceso para Plutón y su luna Caronte ha terminado: Caronte presenta la misma
cara a Plutón y éste la misma cara a Caronte. Ambos están frenados por marea y
coinciden el periodo de rotación y traslación de Caronte con la duración del
día de Plutón: son 6,38723 días.
Tabla 2 El (*) significa el periodo sinódico de
Estigia e Hidra. (*1) significa relación con el periodo de Nix con el que forma
la resonancia Laplace.
A ésta parte le sigue: Resonancia de Laplace en sistemas extrasolares
Hay un múltiplo de los periodos sinódicos de 213,5
con un error de 0,14 días. Cada 2 conjunciones de Estigia y Nix hay 3 de Nix e
Hidra y 5 de Estigia e Hidra.
Estigia, Nix, e Hidra están en una resonancia
orbital de Lagrange de valor 2:3. (Showalter y Hamilton 2015) A diferencia de
las resonancias en los movimientos medios la resonancia Laplace p:q no
significa que p>q. Nix e Hidra están en una resonancia 3:2. Estigia y Nix
están en una resonancia 11:9 con una proporción de los periodos orbitales
18:22:33.
Si l denota la longitud media de cada satélite de Plutón y F el ángulo de libración,
entonces la resonancia puede formularse como:
F=3𝜆₁-5𝜆₂+2𝜆₃=𝜋
con una amplitud de por lo menos 10°. Como con la
resonancia de Laplace de los satélites galileos de Júpiter, las conjunciones
triples ocurren nunca.
Esto significa que dos resonancias orbitales de los
movimientos medios distintas r=11/9 y s=3/2 producen una resonancia Laplace 2:3
p=2 q=3 cumpliendo que ambos miembros de la relación valen 15/2.
A ésta parte le sigue: Resonancia de Laplace en sistemas extrasolares
