Resonancia orbital de Laplace en el Sistema Solar

Este trabajo tiene dos partes, la (II) se refiere a Resonancia Laplace en sistemas extrasolares.

La resonancia en física

Hay muchos ejemplos en física de la resonancia. Todos hemos visto como en la parte científica de El Hormiguero se rompen copas emitiendo un sonido con una frecuencia que iguala la frecuencia de vibración natural de la copa o se apagan velas haciéndola coincidir con el valle de la onda. Pero la resonancia es mucho más y hay ejemplos en casi todos los campos de la física: en electricidad, en  un circuito de corriente alterna con una resistencia de valor R, un condensador de capacidad C y  una bobina de inducción L, puestas en serie, el circuito entra en resonancia cuando la frecuencia  𝞾 de la corriente alterna es tal que compensa los efectos del condensador y la bobina y entonces la intensidad eficaz que atraviesa el circuito es máxima. Cuando sintonizas una emisora de radio o televisión no estás haciendo otra cosa  que poner en resonancia tu aparato electrónico de radio o televisión con la emisora que emitió la señal, igualando las frecuencias. Pero el ejemplo arquetipo de resonancia es el de la niña y el columpio. Supongamos una niña que se columpia con un periodo de 2 segundos. Si su padre la empuja a periodos arbitrarios no causará el mismo efecto que si la impulsa cada 2 segundos, pues entonces lo hará de manera eficaz y causando el aumento de la oscilación. A esta intensificación o amplificación de la fuerza que llega a afectar de forma notable a sus movimientos se le conoce con el nombre de resonancia. Como es lógico, la resonancia también está en la Astronomía. Hay muchos tipos de resonancia pero aquí nos ceñiremos a sólo dos: Resonancia spin-orbita y Resonancia orbital y dentro de ella a la Resonancia orbital de Laplace  que afecta a tres planetas o satélites y que la descubrió Laplace para los satélites galileanos del Sistema Solar pero ahora es muy importante en la estabilidad de los sistemas exoplanetarios, que veremos en el próximo escrito. Dejamos de lado con pena los Huecos de Kirkwood que causan la desaparición de asteroides a ciertas distancias resonantes con el periodo orbital de Júpiter y a los huecos en los anillos de Saturno (División de Cassini etc. ) creados por resonancias con los satélites de Saturno.  Es decir los casos en que la resonancia es desestabilizadora para centrarnos en los que estabiliza el sistema.

Resonancia spin-órbita

Por resonancia spin- órbita nos referimos a la que relaciona el periodo de rotación de una estrella o planeta y el periodo de traslación a su alrededor de un planeta o satélite. Muchos de los satélites que giran alrededor de un planeta presentan una rotación síncrona; es decir, tardan el mismo tiempo en girar sobre sí mismos que alrededor del planeta. Se dice que están en resonancia 1:1. Esto significa que el satélite presenta al planeta siempre la misma cara. El ejemplo más llamativo es el de la Tierra y la Luna, pero la inmensa mayoría de satélites están en esta situación. Entre ellos todos los grandes satélites de Júpiter y Saturno. La razón es la fuerza de marea del planeta ha parado el giro del satélite respecto a su planeta. Para ello el satélite tiene que ser grande y estar cerca del planeta. La fuerza de marea se debe a la diferencia de fuerza de atracción que el planeta ejerce sobre diferentes partes del satélite. Es una fuerza diferencial, en el doble significado de la palabra y por tanto disminuye con el cubo de la distancia, es decir más rápido que la fuerza de la gravedad que sólo lo hace con el cuadrado. En el Sistema Solar ningún planeta está atrapado en una resonancia spin-órbita 1:1. El más cercano al Sol, Mercurio, tiene su periodo de rotación de 58,7 días, está atrapado en una resonancia 2/3 del periodo de traslación alrededor del Sol de 87,97 días. Dejando aparte a Venus que gira de forma retrógrada y muy lento, el resto de planetas gira libremente. Para los planetas exteriores del Sistema Solar se ha comprobado que la energía rotatoria por unidad de masa de los planetas se relaciona con la masa de este. En resumidas cuentas los planetas masivos giran más rápido que los menos masivos. La Tierra no cumple la relación porque (ver Legado 5 del programa Apolo) ha sido frenado por la marea lunar y por la conservación del momento angular ésta se aleja. Se explica allí también el proceso de Plutón y su luna Caronte. En los exoplanetas la inmensa mayoría han sido descubiertos por tránsito o velocidad radial lo que favorece el descubrimiento de planetas cerca de sus estrellas así que están, salvo unos pocos, frenados por marea presentando la misma cara a la estrella lo que dificulta su habitabilidad. Muchos de ellos tienen todos sus planetas más cerca que Mercurio del Sol lo que convierte al Sistema Solar en bastante atípico. 

Resonancia orbital de los movimientos medios

En mecánica celeste, se produce una resonancia orbital cuando dos cuerpos en órbita tienen el cociente de sus periodos de traslación cercana a una relación de números enteros sencillos. Es decir:

 T₂/T₁=p/q

donde T₂ es el periodo del planeta exterior, T₁ el interior y p y q números enteros sencillos.

Por ejemplo, en nuestro Sistema Solar, Júpiter tarda 11,86257 años y Saturno 29,458 años: El cociente de sus periodos vale 2,4833, próximo a 5/2 con un error relativo de 6,7x10^-3 . Se dice que Júpiter y Saturno están en una resonancia de 5/2 porque cuando Júpiter da 5 vueltas al Sol Saturno da 2 y cada 60 años se encuentran muy cerca ejerciéndose una influencia gravitacional periódica que altera sus órbitas.

El francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827) que vivió en la convulsa Revolución Francesa y tuvo por alumno a Napoleón Bonaparte fue el primero en darse cuenta de ello. En su época había algunos problemas astronómicos sin solución, por ejemplo Júpiter parecía acelerarse y Saturno frenarse. De seguir así Júpiter acabaría por escapar del Sol y Saturno por caer en él.  Con sólo 23 años de edad, Laplace se dio cuenta de que no era un efecto secular sino periódico (de periodo 60 años) por la posición relativa de los dos cuerpos. En ese momento Saturno adelantado en su órbita tiraba de Júpiter acelerándolo, mientras a su vez Júpiter retrasaba el movimiento de Saturno. Pronto Júpiter adelantaría a Saturno en su giro interior más rápido y el problema se invertiría.

Fig 1. El libro de Peter Duffett-Smith Practical astronomy with your calculator nos habla de las fórmulas que aplicó Laplace para corregir este efecto.

Laplace fue un hombre que durante su vida, consiguió, aparte de en astronomía, muchos logros en física y es muy conveniente leer su biografía.

Si p=q estamos en una resonancia orbital 1:1 y Joseph-Louis Lagrange descubrió que hay una situación gravitacional de equilibrio (los puntos L₄ y L₅) cuando el Sol- Júpiter y L₄ o L₅ forman un triángulo equilátero. Los asteroides troyanos ocupan estos puntos que preceden o  van por detrás de Júpiter en 60º. Hay muchos planetas y lunas que tienen troyanos. Hemos visto que aunque en el Sistema Solar no hay, desde el punto de vista de la estabilidad planetas similares en masa a Júpiter y Saturno podrían ser planetas troyanos. En este artículo podrás encontrar referencias aclaratorias a los Puntos de Lagrange etc.

Si los periodos están cerca de una conmensuridad p/q pero no hay o no se han detectado consecuencias físicas diremos que se trata de una cuasi-resonancia.

La diferencia entre resonancia y cuasi- resonancia la hemos visto ya en la resonancia entre Júpiter  y Saturno que afecta a la longitud de ambos. Aparece claramente en los satélites galileanos. En 1610 Galileo Galilei descubrió los 4 satélites más grandes de Júpiter y poco después había publicado unas efemérides de ellos. Los tres satélites interiores están en una resonancia 2:1 y el más exterior en una resonancia 7:3.

El movimiento medio n de un satélite de periodo T se define como

n=360º/T

es decir los grados que recorrería el planeta por término medio en un día, haciendo caso omiso a la segunda ley de Kepler. Pero la resonancia de los satélites galileanos no es exacta:

T₂/T₁=2,00734 y T₃/T₂=2,01493

¿A qué se debe el estar ligeramente fuera de la resonancia?  En realidad la ecuación real de Ío (I), Europa (II)  y Ganímedes (III) es

Fig. 2 La longitud del periastro es la suma de dos ángulos medidos sobre diferentes planos: la longitud del nodo y al argumento de latitud del periastro.

Esto es una prueba de estabilidad, se puede demostrar que las conjunciones de Ío y Europa (mínima distancia entre ambos) ocurren cuando  Ío está en el periastro de su órbita mientras que Europa está en el apoastro de la suya. De esta manera cuando esto sucede ambos satélites están lo más alejados posible uno de otro.

{\displaystyle n_{Io}-2\cdot n_{Eu}+{\dot {\tilde {\omega }}}_{Io}=0}En el Sistema Solar o en sus sistemas de satélites hay muchas resonancias y cuasi-resonancias. En los sistema de planetas extrasolares, como veremos en la segunda parte,  aún hay más.

Resonancia de Laplace                   

La resonancia de Laplace hace que los periodos T₁, T₂ y T₃ de los tres satélites galileanos de Júpiter Ío (I) Europa (II) y Ganímedes (III) están en una resonancia orbital 1:2:4. Es decir

Como hemos visto la resonancia no es exacta por lo que las dos cantidades no son exactamente 0. Por definición los tres cuerpos están en resonancia Laplace si estas cantidades no necesariamente 0 son iguales.

Es decir si

n₁-3n₂+2n₃=0

y en efecto para los tres satélites galileanos, la combinación lineal de los movimientos medios vale -0,005943172º/día.

Pero la resonancia de Laplace no se limita a los movimientos medios, si no que tiene implicaciones sobre la posición en la órbita de los tres satélites galileanos. Laplace descubrió que las longitudes medias donde λ ≡ Ω + ω + M de los tres satélites galileanos cumplían una condición en sus longitudes:

𝜆₁-3𝜆₂+2𝜆₃=𝜋 rad=180º

La resonancia Laplace tiene que ver con los periodos sinódicos de los satélites de Júpiter. Puede demostrarse sin dificultad que el periodo sinódico de I y II es T₂=1/2 T₃ , que el T sinódico de II y III es T₃ y el de I y III es 1/3 de T_3.  Los tres satélites repiten su configuración cada T₃=7,15 días en los cuales hay 2 conjunciones de los satélites I y II, 1 conjunción de los satélites II y III y 3 de los satélites I y III por lo que se establece que la configuración de la resonancia Laplace es 2:1.

Obsérvese que los coeficientes de los movimientos medios y de la longitud de libración son iguales al número de conjunciones.

En 1975 R. Greenberg publicó On the Laplace relation among the satellites de Uranus  donde expone la figura:

Así en el caso de Júpiter, Si II y III están en conjunción y se considera que ésta es el origen de las longitudes I está en oposición  a ellos pues 𝜙=180º. La resonancia Laplace favorece la estabilidad del sistema pues es imposible que los tres satélites galileanos estén próximos. Es imposible una conjunción triple. Esta ecuación supone resonancias de tres cuerpos de orden cero que son, con mucho, las más fuertes en el caso de pequeñas excentricidades (Gallardo et al. 2016). La resonancia Laplace es estable a las perturbaciones y, por ello, es dinámicamente significativo. Estas resonancias también son importantes para el caos en el cinturón de asteroides (Nesvorný y Morbidelli 1998)

Dada la geometría de las órbitas de la Tierra y Júpiter desde este último planeta la elongación máxima de la Tierra F=11º (el ángulo máximo que forman los rayos del Sol y la línea Tierra –Júpiter). Esto significa que es normal confundir tránsito de un satélite por el disco y paso de la sombra y ocultación con eclipse de un satélite.

Fig. 3 La Tierra vista desde Júpiter en su máxima elongación se separa sólo 11º del Sol. Esto significa que durante todo el periodo sinódico de Júpiter de unos 13 meses dicho ángulo será menor.

Esto da lugar a unas famosas reglas de Laplace que todo observador de los satélites de Júpiter debe conocer y que caso de no tener las efemérides pueden ayudar en la identificación:

1) Jamas transitan o se ocultan/eclipsan simultáneamente los tres.

2a) Empecemos por la que ya tenemos dicha. Si II y III simultáneamente se ocultan/eclipsan entonces I transita.

2b) Si II y III simultáneamente se transitan entonces I está oculto o eclipsado.

Fig. 4 Configuraciones de los satélites de Júpiter por Resonancia de Laplace según el libro Astronomía Popular de Camille Flammarion. Izquierda 2a y derecha 2b.

3) Si I y II se ocultan/transitan simultáneamente entonces 2l_III =±180 y III está en la máxima elongación oriental u occidental

Fig. 5 Configuraciones de los satélites de Júpiter por Resonancia de Laplace según el libro Astronomía Popular de Camille Flammarion. 

4) Si I y III simultáneamente eclipsan o se ocultan 3l_II =±180 y II forma ±60º con I y III

Generalización de la resonancia de Laplace

Supongamos que los periodos T₁, T₂ y T₃ de los tres planetas o satélites estén en una resonancia orbital dos a dos del tipo p/q>1. Es decir 

Si las resonancias son exactas, se cumplirá lo anterior, pero si no, cada cantidad será distinta de 0 y por definición los tres cuerpos están en resonancia Laplace si estas cantidades son iguales.

Es decir si

En la resonancia Laplace p:q no es preciso que p>q por ejemplo, veremos que la resonancia de los satélites de Plutón es 2:3.

Ejemplo: en el caso de los satélites galileanos p=2 q=1 y volvemos al caso particular. Los satélites galileanos I, II, III están en resonancia de los movimientos medios 2:1 dos a dos y también en resonancia de Laplace 2:1.

Otros ejemplos en el Sistema Solar

1)      Los satélites regulares más interiores de Urano

De los cinco satélites regulares de Urano los tres más interiores (Miranda, Ariel, Umbriel) están en resonancia Laplace. Quillen y French (2014) encuentran que las resonancias de tres cuerpos pueden ser relativamente más importantes que las resonancias de dos cuerpos entre las lunas interiores de Urano ya que las lunas están cerca de las resonancias de movimiento medio.

Los periodos de los tres satélites son T₁=1,4135dd T₂=2,5203 d T₃=4,1442 d así que los movimientos medios son n₁=254,686947º/d n₂=142,840138 º/d n₃=86,8683944 º/d

El periodo sinódico de 1 y 2 es 3,2187 días, el de 2 y 3 es 6,4318 días y el de 1 y 3 es 2,1452.

Hay un múltiplo de los periodos sinódicos de 6,435 días con un error de 0,005 días. Cada 2 conjunciones de Miranda y Ariel hay 1 de Ariel y Umbriel y 3 de Miranda e Umbriel.

Miranda, Ariel u Umbriel están en una resonancia orbital de Laplace de valor p:q (2:1) es decir cumplen la misma ecuación en n que los satélites galileanos:

                                                                            n₁-3n₂+2n₃=0

y la ecuación no da 0 si no -0,09667818 º/d. Ello significa que cuando se produce la conjunción de Ariel y Umbriel, Miranda tiene una posición algo retrasada respecto a la conjunción anterior, llegando a producirse una conjunción triple cada 360/(0,09667818x365,2422)=10,19 años un periodo lago dado que los periodos orbitales de los satélites son de pocos días. El ángulo F no está pues limitado.

Tabla 1 El (*) significa el periodo sinódico de Miranda y Umbriel.

Otro tema es la resonancia de los movimientos medios T₂/T₁=1,78302087 y T₃/T₂=1,64432806. Aunque nos dicen que la resonancia 2:1 es muy importante y ancha [1,83; 2,18]  es claro  que ambos valores quedan fuera. En unos artículos de Tittemore, W. C.; Wisdom de 1988 y 1990 titulados Tidal evolution of the Uranian satellites: I y II habla de probables resonancias pasadas y presentes entre Miranda-Umbriel  (3:1) y entre Ariel-Umbriel de  (5:3) lo que nos deje para Miranda–Ariel una relación actual de 3:1/5:3 de 9:5. Es decir dos resonancias en los movimientos medios distintas de 9:5 y 5:3 causan entre los tres satélites una resonancia Laplace 2:1.

Para explicarlo supongamos que  T₁, T₂, T₃ sean los periodos de tres planetas o satélites en resonancia Laplace p:q, se cumple

Para el caso de los satélites de Urano r=9/5 s=5/3 p=2 q=1 el primero y segundo miembro valen 5.

Si r=s entonces la ecuación anterior se transforma en la ecuación qr²-(p+q)r+p=0 que tiene dos resultados r=s=p/q  y la trivial r=s=1.

Ahora bien nadie ha usado en la demostración que r y s sean racionales. De hecho no lo son, la resonancia Laplace tiene el mérito de sacar ligeramente a los planetas de las resonancias de los movimientos medios, para conseguir que las longitudes de los exoplanetas cumplan una condición de libración que los mantenga más estables.

Los satélites de Plutón: Estigia, Nix e Hidra

Plutón, como la Tierra, no debería tener satélites. Si ambos cuerpos los tienen es porque sufrieron un choque brutal. Como resultado tienen respecto a su masa los satélites más grandes conocidos: Caronte y la Luna. Tanto es así que el sistema Plutón-Caronte puede considerarse un sistema doble. Aunque en el choque brutal que permitió la formación de la Luna no hubo subproductos, sin embargo la formación de Caronte sí tuvo hermanos pequeños y Plutón tiene un sistema de satélites muy pequeños que por orden  de lejanía son Caronte, Estigia, Nix, Cerbero e Hidra.

La rotación de la Luna y Caronte ha sido totalmente frenada. Están en resonancia spin-órbita 1:1 y presentan siempre la misma cara a la Tierra y Plutón respectivamente. Como dijimos en el Legado 5 la Tierra ha sido frenado por la marea lunar y por la conservación del momento angular la Luna se aleja. Mientras la Luna se aleja, la Tierra se frena pero no llegará a escapar de la gravedad terrestre. A 558.650 Km la Luna dejará de alejarse porque la Tierra estará totalmente frenada respecto a la Luna. El día en la Tierra duraría 47 días actuales. Todo esto no ocurrirá porque el tiempo necesario para alcanzar esta configuración supera la edad actual del Universo y mucho antes en unos 6.000 millones de años el Sol morirá. Todo esto se explica en el Legado 5 y allí también dijimos que este mismo proceso para Plutón y su luna Caronte ha terminado: Caronte presenta la misma cara a Plutón y éste la misma cara a Caronte. Ambos están frenados por marea y coinciden el periodo de rotación y traslación de Caronte con la duración del día de Plutón: son 6,38723 días.

Tabla 2 El (*) significa el periodo sinódico de Estigia e Hidra. (*1) significa relación con el periodo de Nix con el que forma la resonancia Laplace.

Hay un múltiplo de los periodos sinódicos de 213,5 con un error de 0,14 días. Cada 2 conjunciones de Estigia y Nix hay 3 de Nix e Hidra y 5 de Estigia e Hidra.

Estigia, Nix, e Hidra están en una resonancia orbital de Lagrange de valor 2:3. (Showalter y Hamilton 2015) A diferencia de las resonancias en los movimientos medios la resonancia Laplace p:q no significa que p>q. Nix e Hidra están en una resonancia 3:2. Estigia y Nix están en una resonancia 11:9 con una proporción de los periodos orbitales 18:22:33.

Si l denota la longitud media de cada satélite de Plutón y F el ángulo de libración, entonces la resonancia puede formularse como:

F=3𝜆₁-5𝜆₂+2𝜆₃=𝜋

con una amplitud de por lo menos 10°. Como con la resonancia de Laplace de los satélites galileos de Júpiter, las conjunciones triples ocurren nunca.

Esto significa que dos resonancias orbitales de los movimientos medios distintas r=11/9 y s=3/2 producen una resonancia Laplace 2:3 p=2 q=3 cumpliendo que ambos miembros de la relación valen 15/2.

 A ésta parte le sigue: Resonancia de Laplace en sistemas extrasolares

Legado 5: Pasado y futuro del sistema Tierra-Luna

El quinto legado era conocido antes del programa Apolo. Se trata del alejamiento de la Luna de la Tierra a causa del frenado de la rotación de la Tierra por las mareas. Debido a la conservación del momento cinético del sistema Tierra-Luna, para compensar la pérdida de momento cinético o angular de la Tierra, la Luna se aleja. No obstante, lo consideramos legado del Apolo debido a la comprobación del fenómeno por los reflectores del Apolo y de que a causa del programa Apolo hemos vislumbrado la única teoría posible del origen lunar (Legado 2).  Queremos saber la evolución del sistema Tierra-Luna.

No hay vuelta de hoja. Siempre que se habla del alejamiento de la Luna, alguien acaba por decir que abandonará la órbita de la Tierra, de los problemas psicológicos del hombre al asomarse por la noche y no ver a la Luna. Pretendemos demostrar que eso no será así. Que la realidad científica es totalmente diferente.

Los reflectores dejados por los Apolos y los dos reflectores laser de los Lunajod soviéticos siguen funcionando. Permiten calcular la distancia de la Tierra a la Luna enviando un haz laser y haciéndolo rebotar en el espejo. Así el tiempo que tarda en hacer el viaje de ida y vuelta permite saber la distancia. También permite la localización precisa de los lugares de aterrizaje.

La Luna gira en una órbita elíptica de distancia media a=384.403 Km de la Tierra, acercándose hasta los 363.299 km. y alejándose 405.507 km. Pero aparte, hay un aumento de la distancia media en 3,8 cm cada año. Es decir la Luna se aleja con el tiempo. Este no es un resultado sorprendente. Los resultados de los reflectores no hacen sino confirmar un resultado que es un fruto de física elemental. El sistema Tierra-Luna es un sistema aislado que conserva el momento cinético.

Antes, las mareas de la Tierra sobre la corteza lunar causaron el frenado de la rotación lunar. El proceso ha terminado porque la rotación lunar dura lo mismo que la traslación alrededor de la Tierra, dando un resultado conocido: la Luna presenta la misma cara a la Tierra.

Tres casos distintos en nuestro Sistema Solar

La Luna se aleja respecto a la Tierra porque la Luna tarda más tiempo en orbitar la Tierra (1 mes) que la Tierra en su rotación.

Fobos se acerca a Marte porque su satélite Fobos se halla muy próximo a sólo 9.377 Km. y orbita Marte en sólo 7h 39m menos tiempo que Marte tarda 24 h 37m 22s en dar una vuelta de rotación.

Les espera un futuro muy diferente. La Tierra seguirá frenándose cada vez menos y la Luna alejándose cada vez con más lentitud. El proceso acabará cuando el día de la Tierra dure igual que el mes lunar. ¿Cuándo durará el día en la Tierra? La respuesta parece increíble: 47 días. ¿A qué distancia se habrá alejado la Luna? Sólo a 558.600 Km. cuando el campo gravitatorio de la Tierra tiene 1,5 millones de km. por lo tanto la Luna será siempre satélite de la Tierra. ¿Cuánto tiempo tardará en suceder eso? Esta ya es harina de otro costal. Varias veces la duración actual del Universo. Por lo tanto, esto nunca sucederá pues antes se convertirá el Sol en gigante roja y probablemente destruirá el sistema Tierra-Luna.

El caso de Fobos es distinto, al encontrarse tan cerca del planeta dentro de 50-100 millones de años cruzará el límite de Roche y las fuerzas gravitatorias diferenciales de Marte serán mayores que la cohesión de Fobos y quedará destruido formando probablemente un efímero anillo a su alrededor. El otro satélite de Marte, Deimos tarda en orbitarlo 30h 17m, así que como nuestra Luna se aleja de Marte. El mismo caso de Fobos  le sucede al par Neptuno-Tritón. Neptuno tarda 16h 6m en su rotación, y su satélite más importante Tritón 5h 21m.  Tritón es un satélite grande, con un radio de 1.354 km, es más grande que Plutón (1.185 km.) con el que tal vez comparte su origen. Su extraña orbita retrograda (gira en sentido contrario a los demás planetas y satélites) y su elevada inclinación respecto al ecuador (157,3º) hace que lo más probable es que sea un objeto capturado por Neptuno del Cinturón de Kuiper. En unos 3.600 millones de años, Tritón atravesará el límite de Roche de Neptuno, y formará un sistema de anillos similar al de Saturno.

Otro caso distinto es el sistema doble Plutón-Caronte. Es similar al sistema Tierra-Luna en que la proporción de la masa del satélite respecto al cuerpo principal es elevada: 1/81 para la Tierra-Luna y 1/8 para sistema Plutón-Caronte. Ambos están a 19.570 km. Al igual que la Luna, Caronte tarda 6,387 días en su movimiento de rotación y tarda el mismo tiempo en su traslación. Pero a diferencia del sistema doble Tierra-Luna, Plutón tarda en su rotación también 6,387 días y presenta la misma cara a Caronte. En este aspecto es como el estado final del sistema Tierra-Luna, que no se alcanzará por falta de tiempo. El origen del sistema es también un choque catastrófico pero a diferencia del sistema Tierra-Luna han quedado algunos restos que son los pequeños satélites de Plutón.

Las mareas frenan la rotación de la Tierra y en consecuencia la Luna se aleja

Las mareas causadas por la Luna y en menor medida el Sol es el factor principal aunque no el único que causa el frenado en la rotación de la Tierra. Las mareas en la Tierra son una fuerza diferencial causada por la diferente distancia a la Luna. La Luna atrae con desigual fuerza el agua de los mares de la Tierra en la dirección Tierra-Luna que el propio centro de la Tierra más lejano, causando un bulbo en la dirección Tierra-Luna. Por extraño que parezca en sentido contrario de la dirección Tierra-Luna también hay un bulbo. En este caso, lo  causa que el agua, debido a su mayor lejanía con el centro de la Tierra, es menos atraída por la Luna. El bulbo crea la pleamar cada 12 horas debido a la rotación de la Tierra.

Fig. 3 Formación de la protuberancia debida a la marea. El bulbo cercano al cuerpo perturbador se debe a que la parte cercana al cuerpo perturbador es más atraída que el centro del cuerpo perturbado. El bulbo lejano se debe a que la parte lejana es menos atraída que el centro.

Sin embargo la dirección del bulbo esta ligeramente adelantada a la línea Tierra-Luna. La razón es que el sistema oceánico tarda algo en reaccionar a la estimulación de la atracción lunar. Hay una cierta inercia similar a que cuando la insolación del Sol en el hemisferio norte es el 21 de junio pero los meses más calurosos son julio y agosto. O la Tierra más rápida en su giro adelanta a la Luna. La atracción mareal de la Luna frena la rotación de la Tierra, como hemos explicado ya,  ahora 1 segundo cada 62.000 años o 16 segundos por millón de años o 0,000016 segundos cada año. Ello causa una disminución del momento cinético de la Tierra y un aumento del momento cinético orbital de la Luna y su alejamiento. Hay evidencias muy fuertes de ello. Gracias a los corales, se sabe que hace 600 millones de años el año constaba de 423 días. La duración del día terrestre era de 20h 43m. Ello significa que en los últimos 600 millones de años el alargamiento medio del día terrestre es de 20 segundos por millón de años cuando actualmente es de 19,66 s/mi. La tasa de alargamiento del día terrestre disminuye con el tiempo y al alejamiento de la Luna.

Fig. 4 Retraso de la rotación de la Tierra causado por el par de fuerzas lunar. El ángulo entre la dirección de la Luna y bulbo (pleamares) está en el dibujo muy exagerada es sólo de 3º de arco 0h 12 minutos de rotación. La Luna atrae un poco más al bulbo cercano que al lejano y el resultado es un frenado en la rotación. La Luna sufre el par de fuerzas y se acelera, alejándose lentamente.

Ello causa una disminución del momento cinético de la Tierra y un aumento del momento cinético orbital de la Luna y su alejamiento. Es decir el bulbo de la Tierra causado por la marea tira de la Luna aumentando su velocidad orbital y alejándola.

De la misma manera que la Luna crea mareas en la Tierra, tanto acuáticas como terrestres, la Tierra también ejerce mareas sobre la Luna. La fricción debida a esas mareas frenó la rotación de la Luna, provocando que ésta presente siempre la misma cara hacia la Tierra.  La órbita de la Luna se llama sincrónica porque dura lo mismo su periodo orbital y el de rotación. Este es motivo de que la Luna presente siempre la misma cara a la Tierra.

Conservación del momento cinético del sistema Tierra-Luna

Si has llegado hasta aquí y quieres saber porque la Luna se aleja 3,8 cm cada año no tienes más remedio que usar física y matemáticas. El cálculo del alejamiento actual de la Luna es sencillo aunque hay que usar fórmulas. El alargamiento de la duración del día de la Tierra produce una pérdida de su velocidad angular de valor:

La misma protuberancia que frena la rotación de la Tierra, acelera a la Luna. El momento cinético que pierde la Tierra lo gana la Luna en su movimiento de traslación alrededor de la Tierra. El momento que la Tierra ejerce sobre la Luna le comunica energía. Como la Luna está en órbita alrededor de la Tierra, ese aumento de energía se traduce en un aumento de la distancia entre los dos astros y un aumento en la duración del mes lunar.

Como consecuencia de la fuerza de marea, aumenta la órbita de la Luna, y, por la 3 ley de Kepler, el período.

Evolución del sistema Tierra-Luna

De la expresión (1) y (2) resulta:

que relaciona la velocidad angular de la Tierra y la distancia de la Luna conocido los valores en un instante dado como podía ser el actual.
Por otra parte hay una relación entre 𝟂 y la distancia lunar r cuando la Tierra presenta la misma cara a la Luna.  𝟂=2𝞹/T donde 𝟂 es la velocidad angular de la Tierra y T el periodo de traslación de la Luna, que coincide con la rotación de la Tierra. Usando la 3ª ley de Kepler 

Se puede dibujar (4) y (5) para ver donde se cortan las dos curvas y determinar la distancia r de la Luna a la que ocurre la resonancia del giro de la Tierra y la órbita lunar.

Fig. 5 En azul, relación de la velocidad angular de la Tierra y la distancia Tierra-Luna. En rosa, relación de la velocidad angular de la Tierra y distancia a la Luna si la Tierra está en resonancia 1:1 con la Luna. Tras sucesivas aproximaciones vemos que el punto de corte está entre 557.000<r<560.000Km.

 Fig. 6  Ampliación de la anterior: el corte está entre 558.600<r<558.700 km y una velocidad angular de la Tierra de 1,505.10⁻⁶<w<1,543.10⁻⁶ rad/seg lo que supone una duración de día terrestre de entre 47,1<T<48,3 días.

La Luna se creó unos 40 millones de años tras la formación del Sistema Solar (hace unos 4.510 millones de años) a unos 16.000 km. del centro de la Tierra y cuando el día en la Tierra duraba 5 horas. Ahora la Luna gira a 384.403 km y tarda 27,5 días en su traslación. esto significa que se formó 24 veces más cerca que la situación actual. La fuerza de atracción gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Como las mareas es una fuerza diferencial, en el sentido coloquial pero también en el matemático, las mareas son inversamente proporcional al cubo de la distancia. Esto significa que cuando se creó causaba en los mares de la Tierra, si los tenía, unas mareas 24³=13.824 veces mayor. Es decir a su paso creaba olas de muchas decenas de metros y pasaba sobre el lugar frecuentemente. Por la tercera ley de Kepler tardaba la raíz de 13824 veces menos que actualmente, es decir 5,6 horas.

El día en la Tierra continuará alargando y la Luna alejándose, hasta que la Tierra presente siempre la misma cara a la Luna y se invierta el proceso. Entonces la Luna estará a 558.600Km. de la Tierra y el día en la Tierra durará 47 días. El tiempo para que ello ocurra es más difícil de calcular, sólo decir que quien ha hecho el cálculo indica que supera la edad actual del universo.

Fig. 7 Página de El Universo (Su principio y su fin) de Lloyd Motz publicado en 1979 donde aparecen algunos valores dados en esta entrada, especialmente los 47 días que duraría la rotación terrestre si estuviese bloqueada gravitacionalmente por la Luna.

La Luna estará siempre en órbita de la Tierra

La Tierra (m=5,97×10²⁴ kg) gira alrededor del Sol (M=1,99×10³⁰ kg) a una distancia de a=149,6 ×10⁶ km. El radio de la esfera gravitatoria de la Tierra es el radio centrado en la Tierra dentro del cual la acción gravitatoria de la Tierra supera a la del Sol. Se extiende a aproximadamente 1,5 ×10⁶ km (0,01 UA). Como la órbita de la Luna está a una distancia de 0,384 ×10⁶ km. de la Tierra, la Luna se encuentra cómoda dentro de la esfera gravitatoria de influencia de la Tierra y no está en riesgo de colocarse en una órbita independiente alrededor del Sol pues está 4 veces más cerca de la zona peligrosa. Si se aleja hasta 0,5586×10⁶ km de la Tierra estará todavía muy dentro del campo gravitatorio de la Tierra y por tanto ¡siempre será un satélite de la Tierra!

Calculemos el tamaño de este radio que se conoce como el radio de Hill. Este vale:

Aplicado a la Tierra resulta r_H=0,01 UA=1,496 millones de km.

Futuro de la Tierra

Mucho antes de que la Luna alcance su máxima distancia a la Tierra y yendo de lo más antiguo a lo más reciente, ocurrirán unos hechos que impedirán al hombre, a la vida, o al propio sistema Tierra-Luna ver, sufrir estos hechos:

·         El Sol se morirá

El Sol como todas las estrellas nace y muere. La duración de su vida depende de su masa. El Sol tiene una masa media. Contrariamente a lo que podría pensarse la vida de una estrella es mayor cuanto menor es su masa. Una estrella enana roja de la mitad de masa del Sol vive 2⁴= 16 veces más que el Sol, a pesar de que tiene la mitad del combustible nuclear. Una estrella del doble de masa del Sol vive (1/2)⁴=1/16 de la vida del Sol a pesar de que su combustible nuclear es el doble. Las estrellas se comportan como la mayoría de las personas ricas que viven una vida de despilfarro y agotan su dinero más rápido que una persona de pocos recursos. Este lapso de vida para estrellas de la masa del Sol es de unos 11.000 millones de años de los que ya hemos vivido 4.500 millones. En unos 6.500 millones de años se habrá convertido en gigante roja y probablemente destruya el sistema Tierra-Luna. Luego se encogerá hasta convertirse en un cadáver estelar: una enana blanca.

No habrá civilización ni vida que lo vea, pues mucho antes, la Tierra habrá salido de la Zona Habitable del Sistema Solar.

·         La Tierra abandonará la zona de habitabilidad

Mucho antes de que el Sol desaparezca la Tierra habrá abandonado la zona de habitabilidad (ZH) del Sistema Solar. Esto se debe a que el Sol aumenta su luminosidad con el paso del tiempo.  La ZH se desplaza hacia fuera a medida que el tiempo transcurre. El Sol en su vida transforma el combustible nuclear de hidrógeno a helio. Esto hace que su masa molecular media vaya aumentando a lo largo de su vida. La luminosidad del Sol depende fundamentalmente de dicha masa molecular media.  Así, a lo largo de su vida, el Sol va aumentando su luminosidad. Hace unos 4.500 millones de años, al principio de la historia de la Tierra, el Sol brillaba un 70% del brillo actual. Actualmente el Sol aumenta su luminosidad un 1% cada 100 millones de años. En los próximos 1.000 millones de años el Sol habrá alcanzado una luminosidad un 10% superior a la actual y la Tierra abandonará la ZH por su parte interior.

Fig. 8 Cuando la luminosidad solar alcance S=1,1 de la luminosidad actual, en 1.000 millones de años la Tierra se volverá inhabitable.

La temperatura efectiva es la temperatura en la parte superior de la atmósfera fruto del equilibrio entre la energía interceptada del Sol y la energía emitida por ser la Tierra un cuerpo caliente. Actualmente S₀=1 la energía interceptada es de 1366 watios/m² lo que da una temperatura de equilibrio de –19,4ºC. No hay que confundirla con la temperatura superficial media (en el doble sentido geográfico y temporal) que es de +15ºC. La diferencia de 34,4ºC se debe al efecto invernadero causado por nuestra atmósfera y que permite la vida.

Si la insolación alcanza los S=1,1S₀ entonces la energía interceptada será de 1502 watios/m² lo que da una temperatura de equilibrio de –13,4ºC. ¡Sólo 6ºC más!

Fig. 9 Efecto invernadero que relaciona el flujo solar recibido con la temperatura en la superficie del planeta y la distancia a en (U.A.) equivalentes asumiendo el flujo actual. Obsérvese que de 600ºK a 1.400ºK hay una rotura en la escala. A S=1,1  le corresponde una  temperatura superficial de 340ºK=67ºC.

Sin embargo, a S=1,1  le corresponde una  temperatura superficial media de 67ºC. Esto significa que durante la época veraniega en las latitudes medias se puede alcanzar una temperatura del aire de 90ºC iniciando un proceso invernadero desbocado (como Venus) que evaporará los mares, liberará la mayor parte del CO₂ de las rocas, aumentará la presión atmosférica y aún más la temperatura  y la Tierra se volverá inhabitable. En 1.000 millones de años el efecto invernadero de la atmósfera será  de 80ºC en vez de 34ºC actuales. Con S=1,1 las moléculas de agua se disociarán en la alta atmósfera y el hidrógeno se escapará perdiendo la Tierra el agua, al igual que pasó en Venus.

Hay quien piensa que no tenemos mucha información de cómo surge la vida porque la Tierra es el único planeta habitado que conocemos. Sin embargo hay un sinfín de tierras distintas en nuestra Tierra. De los digamos 11.000 millones de años que durará,  la Tierra estuvo sin vida los primeros 700 millones y también lo estará los últimos 5.500 millones. Estará habitada los 4.800 millones restantes, en la parte central de su existencia.  De ellos 2.700 fueron de vida unicelular y suponemos que los 2.100 restantes serán de vida pluricelular aunque sólo estamos seguros de los 1.100 que hemos vivido. Los mamíferos surgieron hace 280 millones de años. Los homínidos hace 23 millones y el homo sapiens hace sólo 165.000 años. Los mamíferos no existían cuando se formó Pangea (toda la tierra) el último gran supercontinente, aunque sí cuando empezó a desgajarse hace 200 millones de años.

·         Los eclipses dejarán de ser totales

En aproximadamente la mitad del tiempo para que la Tierra se convierta en no habitable (unos 500 millones de años) el punto más cercano de la órbita lunar estará a suficiente distancia como para no tapar completamente al Sol en su punto más lejano.  Los eclipses solares dejarán de ser totales para convertirse en eclipses anulares.

Hagamos el cálculo suponiendo que las excentricidades de las órbitas de la Tierra y la Luna no cambien y que la tasa de alejamiento de la Luna tampoco. Todo falso, pero por lo menos da la magnitud de cuándo ocurrirá el fenómeno.

El radio aparente del Sol a la distancia media de la Tierra de Ss= 0,26699º=16’1,18”. La distancia máxima de la Tierra al Sol es de 1,11675 UA así que el semidiámetro solar mínimo es el cociente 0,2626º=15’45,35”. El radio lunar aparente actual a la distancia media de la Luna es Sl=0,25906º=15’32,6”. La mínima distancia lunar actual es 0,9451 veces la distancia media. El radio máximo a la mínima distancia lunar actual 0,27410º=16’26,77”. Por eso hay eclipses totales. Dejará de haberlos cuando la Luna se aleje hasta una distancia media a de manera que en su distancia mínima no tape el Sol. Es decir 0,25906/x=0,2626.

O sea x=0,98652=a(1-e)=a (1-0,054900489).

La Luna deberá alejarse a=1,04383 veces la distancia actual de 384.403 km. es decir a a=401,250 km. En alejarse 16.847 km al ritmo de 3,8 cm/año tardaría 443 millones de años.

No sabemos si el hombre existirá entonces, para entender que los eclipses totales que durante su vida le acompañaron y marcaron su psicología, son ya historia. Las especies en la Tierra tienen una duración media de sólo 10 millones de años. La extinción es un proceso inherente a las especies y la humana no será especial ¿o sí?. Algunas especies llamados fósiles vivientes duran cientos de millones de años. El hombre ha desarrollado o desarrollará una serie de conocimientos tendentes a evitar su extinción. Pero en unos 250 millones de años los continentes volverán a unirse en uno sólo.

·         Se formará un supercontinente que destruirá, toda o casi toda, la civilización humana

Los continentes de la Tierra debido a que tiene placas tectónicas se mueven lentamente sobre la superficie de la Tierra. Ello se debe a la creación de corteza en las dorsales oceánicas. Dado que la superficie terrestre es limitada, la creación y destrucción de corteza deben ser iguales. La destrucción de la corteza terrestre ocurre por subducción, es decir el hundimiento de una placa  por debajo de otra, ello causa su fusión  por la elevada temperatura. La corteza terrestre se recicla. Como la superficie terrestre es limitada, con un periodo aproximado de 550 millones de años, los continentes se unen en un único continente.  La última vez que esto ocurrió fue hace 300 millones de años y el continente se llamó Pangea. Cuando hay un sólo continente, el clima de la Tierra sufre grandes cambios. El interior del gigantesco continente tiene un frío extremo en invierno y un calor sofocante en verano, así como una ausencia de lluvias. No tenemos constancia actual, de cómo eran los continentes anteriores a Pangea. Aunque sí hay constancia de fósiles. Los mamíferos y mucho menos el hombre han vivido jamás una reunificación de los continentes. Cuando hay un sólo continente, el interior de la Tierra tiene muchas dificultades en liberar su calor interior. Así que llega un momento que la corteza no puede más y el supercontinente se rompe por numerosas fallas con una elevada sismicidad y vulcanismo. Pangea sobrevivió sólo 100 millones de años. Ahora estamos viviendo la culminación de la rotura de Pangea. La próxima vez que se unan será en unos 250 millones de años. Digamos que, la desaparición de los eclipses solares ocurrirá 100 millones de años después de la rotura del próximo supercontinente, asumiendo que este dure también unos 100 millones de años. Los científicos no se ponen de acuerdo en cómo será este próximo supercontinente, aunque sí se sabe como aproximadamente se moverán las placas tectónicas actuales. Digamos que las diferencias están en los detalles. Para unos será de una forma y se formará Pangea Última para otros será algo distinta y se formará un supercontinente que llaman Amasia.

Sea como sea, el choque de los continentes actuales formará grandes cordilleras o hundirá parte de la corteza en el interior de la Tierra. Digamos que las ciudades y nuestra civilización serán parte de esa corteza reciclable. No sabemos si el hombre sobrevivirá a la formación y posterior destrucción del supercontinente. Si llega hasta ese instante será la primera vez en afrontar unos retos únicos. Si no logra sobrevivir, habrá eclipses totales de Sol durante toda la existencia humana. Frente a la idea de la Edad Media de que el hombre es el centro de la Creación, surge la idea más correcta de que el hombre es un ser prescindible y que las cosas en la Naturaleza ocurren aunque nadie las vea.

Bibliografía:

• The Scientific Legacy of Apollo (Ian A. Crawford, Department of Earth and Planetary Sciences, Birkbeck College,University of London en arXiv 2012)
• Los resultados científicos del Apolo XI (Rafael Bachiller, Director del Observatorio Astronómico Nacional.
• Redescubriendo la Luna (Jorge I. Zuluaga, Astrónomo del SEAP y FCEN Universidad de Antioquía, Colombia)
• Taylor, G. J. "Origin of the Earth and Moon." Dec 1998. Planetary Science Research Discoveries
• Apuntes míos: Origen de la Luna (Cap. 27.10.10) Datación de superficies planetarias (Cap. 5.4.2) La estructura interna de la Luna (Cap.20 Libro) El núcleo lunar (Capítulo 2b)
• El Universo (Su principio y su fin) de Lloyd Motz (1979)

Otros artículos de esta serie:

0) Legado 0: Legado del programa Apolo (Introducción)
1) Legado I: Análisis de las rocas lunares

2) Legado II: Origen de la Luna 

3) Legado III: Datación por densidad de craterización. Calibrado. Bombardeo masivo tardío. La Luna se encoge. 

4) Legado IV: Estructura del interior lunar 

5) Legado V: El pasado y futuro del sistema Tierra-Luna (éste)

Legado 4: Estructura del interior lunar

Homenaje a los doce astronautas que aterrizaron en la Luna

La tarea de sondear el interior de un planeta sólo se ha realizado hasta la fecha en la Tierra y la Luna. A tal fin en el artículo rendimos un homenaje a los doce hombres que aterrizaron en la Luna en el siglo XX. Con ello queremos destacar que en ésta y otras muchas tareas la acción humana nunca podrá ser reemplazada por una máquina. El sondeo lunar fue activo pues los astronautas hicieron rodar piedras para distinguirlo de los seísmos, hicieron estallar explosivos y estrellaron contra la Luna las terceras fases del Saturno V que les habían impulsado hacia la órbita lunar o los módulos lunares de ascenso tras haberse acoplado con la nave Apolo que con un astronauta quedaba en la órbita lunar.

El momento de inercia y la estructura lunar

Aparte de la densidad media, los cuerpos en rotación dan información de su estructura interna. El papel de la masa en dinámica lineal lo desempeña el momento de inercia en la dinámica de rotación. Esta depende del eje de giro que normalmente se representa por el eje z. En un planeta que gira Iz=k₂Mr² donde M es la masa del planeta y r su radio y k₂ un parámetro que depende de la estructura del planeta. En una esfera homogénea en rotación k₂=2/5=0,4. Si la densidad del planeta va aumentando con la profundidad, lo que es lógico, k₂<0,4. Para la Luna k₂=0,3932 lo que da idea de que su estructura es muy uniforme. Ahora bien, k₂ varía muy poco frente a grandes cambios de estructura. Por ejemplo para Mercurio es 0,33 y para Marte 0,359.

Tabla Modelo de dos capas del interior lunar basado en la densidad media lunar y el valor de  k₂. Se prueba con distintas densidades superficiales hasta lograr el valor real de k₂. La densidad de la capa interna es para que la densidad media sea la correcta.

Los seísmos en la Luna

Se han registrado terremotos lunares cuyo número ronda los 3.000 al año. Hay tres clases distintas de terremotos: por impactos de meteoritos, inducidos artificialmente y naturales.

Los sismómetros lunares, dejados por las misiones Apolo, han registrado señales que muestran impactos meteóricos del orden de 70 a 150 al año, con unas masas variables entre los 100 gramos hasta la tonelada de peso. En julio de 1972, se produjo un terremoto producido por un objeto de aproximadamente 1.000 kilogramos de peso.

Los astronautas del Apolo 12, 14, 16 y 17 provocaron terremotos artificiales al estrellar contra la Luna la parte superior del módulo lunar. La forma como se ha produjo el seísmo artificial, la propagación por una amplia zona de la onda sísmica y más de media hora de duración (reverberación) sorprendieron a los investigadores: Es como si hubiese dado un martillazo en una campana. Frank Press del MIT dijo: No hemos visto nunca parecido en la Tierra. El impacto provocó un seísmo de grado 3. También hicieron chocar contra la Luna la tercera fase del Saturno V, que tenia una masa de unas 14 toneladas, y que  había impulsado a la Luna al Apolo 13,14,16 y 17. Las vibraciones producidas en los sismómetros por el impacto duraron más de tres horas. Los astronautas del Apolo 14, 16 y 17 instalaron otros sismómetros activos es decir capaz de detectar unas vibraciones causadas por el estallido de cargas explosivas disparadas varios meses después de que los astronautas hubieran regresado. Las bombas eran disparadas entre 150 y 1.500 metros del sismómetro. Una hilera de tres geófonos separados 51 metros entre sí, registraran la dirección y extensión de las ondas, una técnica utilizada generalmente para buscar petróleo en la Tierra.

Los seísmos naturales son aquellos producidos por la propia geología lunar, causados por el reordenamiento interno de la Luna debido a que la órbita de ésta no es un círculo perfecto, ya que presenta una excentricidad, distinguiéndose los profundos, generados por las mareas, entre 600 y 1.000 kilómetros, es decir mucho más profundos que los terremotos terrestres, y los superficiales cuyo origen, hace 50 años y hasta hace poco, era todo un misterio. Se decía que eran por la expansión y contracción de las rocas superficiales producidas por los cambios de temperatura que fluctuaba entre los -150 ºC por  la noche a los 150 ºC a mediodía.

Faltaban todavía 30 años para la Lunar Prospector descubriera el pequeño núcleo lunar, 40 años para que el LRO descubriera 3.400 fallas lunares y 50 años para descubrir que algunas estaban activas. Un descubrimiento de mayo de 2019.

Los terremotos naturales que tienen su origen en el interior del globo lunar, tienen una frecuencia de 4 por semana. Pero no se extienden aleatoriamente sino que se  concentran durante la semana que corresponde al paso de la Luna por su perigeo, evidenciando así que estos movimientos son favorecidos por la marea que provoca la atracción terrestre, y que en esa fase de acercamiento máximo se traduce en una onda de aproximadamente 50 cm de amplitud que se propaga por la corteza lunar. El 28 de julio de 1970 los científicos tras analizar los datos del sismómetro del Apolo XI lograron reunir por primera vez pruebas suficientes de que la Luna está afectada por terremotos que se originan bajo su superficie. Los terremotos naturales no suelen sobrepasar el grado 2 en la escala de Richter, es decir prácticamente imperceptible por el hombre, aunque con una frecuencia anual aproximadamente alcanza una magnitud de grado 5.

Los focos de una tercera parte de estos seísmos, se localizaban en una decena de puntos del globo lunar, teniendo la mitad de ellos un foco común situado a 800 metros de profundidad, bajo un pequeño macizo montañoso que separa los mares de las Nubes y los Humores. Los epicentros hasta entonces localizados se situaban a lo largo de dos líneas de unos 2.000 kilómetros de largo, una de las cuales está situada aproximadamente a la altura del meridiano 30ºW, y la otra orientada en dirección SW-NE.

Los sismómetros lunares, tanto pasivos como activos dejados por las misiones Apolo entre 1969 y 1972, han contribuido de forma decisiva al conocimiento de la velocidad de las ondas sísmicas P y S en el interior lunar y por tanto, es el único cuerpo aparte de la Tierra donde se ha podido estudiar por este método la estructura interior de un planeta. Las características de las ondas P y S permitieron analizar, la densidad del material existente y si la velocidad sufre alguna discontinuidad lo que revelaría la existencia de capas. También la velocidad de las ondas sísmicas dado que el lugar del choque era conocido. 

Refinamientos posteriores de la sonda Lunar Prospector en 1999 permitió descubrir, con completa seguridad, un pequeño núcleo de hierro. Este representa sólo el 1% de la masa de la Luna. Este núcleo no debía estar fundido pues la Luna no tiene actualmente campo magnético. El análisis de la magnetización residual de las muestras lunares demuestra que en un pasado sí estuvo fundido y la Luna tuvo un campo magnético, aunque mucho menor que la Tierra.

Fig. 1 Dos terremotos registrados por los sismómetros del Apolo. El de arriba es de un impacto, el de abajo deformaciones producidas en el manto lunar por las mareas terrestres. La ausencia de agua y otros materiales volátiles hacen que las vibraciones en la Luna resuenen como una campana, incluso como respuesta a pequeños choques. Los terremotos aquí representados tienen una reverberación superior a una hora.

La red de sismógrafos del Apolo funcionó hasta 1977 en que se desconectó. Detectó unos 28 terremotos grandes de magnitud máxima de 5,5 en la escala Richter y una cantidad mucho mayor de terremotos de menor intensidad que ocurren una vez al mes cuando la Luna pasa por el perigeo o mínima distancia a la Tierra. En mayo de 2019, como hemos visto en el legado 3, Thomas Watters afinó la localización del epicentro de estos 28 temblores. Al solapar las nuevas ubicaciones con las imágenes que la Lunar Reconnaissance Orbiter (LRO), comprobó que al menos ocho de los seísmos caían sobre líneas de falla. La conclusión para los científicos es que la Luna aún está activa. Creemos que es muy probable que estos ocho temblores se produjeran por el deslizamiento de fallas a medida que se acumulaba el estrés por la compresión de la corteza lunar provocada por la contracción global y fuerzas de marea, lo que indicaría que los sismógrafos de las Apolo grabaron el encogimiento de la Luna y que aún es tectónicamente activa, decía Watters. La contracción por enfriamiento la comparte la Luna con Ceres y Mercurio, todos cuerpos pequeños.

Las ondas S y P

A través de los fenómenos físicos de las ondas puede explorarse la estructura del interior de los planetas. El tipo y cantidad de refracción de las ondas son los medios de exploración. Los cambios bruscos en la velocidad de la onda puede revelar la presencia de discontinuidades en las propiedades de refracción de las capas interiores. Los estudios sísmicos son muy antiguos para la Tierra, pero en la superficie de la Luna, la detección de seísmos se debe al instrumental que instalaron los astronautas del Apolo.

Las ondas superficiales tienen mucho poder destructivo pero no sirvan para nuestro propósito de estudiar el interior de los planetas. Por el contrario las ondas internas tienen poco poder destructivo, pero viajan por el interior de la Tierra o la Luna y siguen caminos curvos debido a que su velocidad cambia con la densidad y composición del interior de la Tierra o Luna. Este efecto es similar al de refracción de ondas de luz. Hay dos tipos de ondas internas.

Las ondas P u ondas primarias son ondas longitudinales consisten en compresiones y dilataciones y se propagan en la dirección de la presión. Son análogas a las ondas del sonido.

Fig. 2 las ondas P son como las del sonido son longitudinales y constan de compresiones y dilataciones propagándose en la misma dirección que estas.

Las ondas S o secundarias son ondas transversal como la luz, en las cuales el desplazamiento es perpendicular a la dirección de propagación. Estas ondas son las que generan las oscilaciones durante el movimiento sísmico y las que producen en las ondas internas la mayor parte de los daños. Las ondas S se trasladan sólo a través de elementos sólidos, nunca atraviesan líquidos como núcleos de planetas fundidos.

Fig. 3 Las ondas S son trasversales vibran en una dirección y se trasladan en la dirección perpendicular, en este aspecto son similares a la luz o a las ondas electromagnéticas.

Las ondas P generalmente viajan a una velocidad 1,73 veces superior a las ondas S y pueden viajar a través de cualquier tipo de material líquido o sólido. Velocidades típicas son 1.450 m/s en el agua y cerca de 5.000 m/s en el granito. Deben pues sus nombres al orden de aparición en un lugar alejado del epicentro del terremoto.

Ecuación de Adams-Williamson

Hay una ecuación que representa para el estudio de la estructura del interior de los planetas, lo que la ley de la gravitación universal para la astronomía. Se trata de la ecuación de Adams-Williamson o ecuación fundamental de la geología que relaciona las velocidades de las ondas P y S deducidas de los modelos sísmicos con el gradiente de la densidad con el radio (pendiente de la gráfica de la densidad con la distancia r del centro). Esta fórmula se basa en el equilibrio hidrostático, según la cual, la presión a una profundidad depende del peso que la columna de tierra ejerce y eso depende de la densidad y la aceleración de la gravedad. La densidad depende de la presión del material y la aceleración de la gravedad de la masa de planeta por debajo del punto a considerar.

El procedimiento para conocer la estructura del interior de un planeta es saber cómo varia la velocidad de dichas ondas con la profundidad. Se divide la Tierra o Luna en finas capas y empezando por la exterior, se calcula el cambio de densidad con la profundidad, por aplicación de la ecuación, la densidad media de la capa, el incremento de presión y la masa de la capa. Descontada ésta de la masa del planeta, se calcula la nueva variación de la densidad para las nuevas velocidades de las ondas P y S y se repite el procedimiento. Realmente es más complicado, pues hay discontinuidades en la velocidad lo que supone un cambio en la composición. Además, densidad depende de la composición y de la compresión. Al final, el cálculo es correcto si la última capa, esta vez de forma esférica, se lleva la masa de planeta que resta. Si al llegar a r = 0 la masa restante Mt  no es 0, tenemos que ajustar la composición y otras suposiciones hasta que los dos son cero al mismo tiempo. Ahora tenemos los perfiles de la densidad, presión y aceleración de la gravedad g como una función de r. El modelo para la Tierra también tiene que permitir los cambios de fase del mineral. Por ejemplo, la estructura de cristal de olivina a una  presión aproximadamente de 150-200 kbar da lugar a una nueva estructura de cristal; llamada espinel que es aproximadamente un 10% más denso que la estructura de cristal original (olivina) a la misma presión. Así que tenemos que tener un conocimiento de la estructura mineral con la presión. Recordemos al aplicar la ecuación que las ondas S no se propagan en el núcleo líquido así que su velocidad es cero.

Resultados sísmicos

Las ondas P se propagan por el interior de la Luna a velocidades variables (ver Fig. 4 y 5). Las ondas S se disipan a una profundidad entre 700 y 800 Km.

Según los resultados obtenidos en el Mar de la Serenidad por el Apolo 17 hasta unos 250 metros de profundidad  la velocidad de las ondas P es de entre 0,2 y 0,3 Km/s y cambia repentinamente a esta profundidad a 1 km/s. Un cambio similar puede observarse en el flujo de lava terrestre sin que haya un cambio en el tipo de roca. A 1,2 km la velocidad de las ondas P se eleva a 4 km/s. Esto se interpreta como la profundidad del mar de basaltos y marca la transición a la capa subyacente de basaltos a la capa de anortosita de las tierras altas.

Le sigue un lento incremento hasta los 6 km/s a unos 25 km de profundidad. A esta profundidad hay un rápido incremento de 6 a 6,8 km/s durante 1 km. Seguido de un lento incremento hasta 7 km/s entre 25 y 60 km de profundidad. Aparentemente los primeros 25 km presentan una composición uniforme del material pero a los 25 km de profundidad puede ocurrir un cambio físico. Quizá las fracturas por impacto no llegan a esta profundidad o las grietas desaparecen por la fluidez del material. Esto último no se debe a la presión que a esta profundidad lunar alcanza sólo aproximadamente los 1,2 kbar y no es suficiente para cerrar las grietas, esto podría esperarse que fuera ocurriendo paulatinamente con el aumento de la presión con la profundidad.

Desde los 25 a los 60 km. la velocidad de las ondas P sugiere en las tierras altas la existencia de grabos de anortosita. Los grabos es una roca plutónica equivalente a los basaltos (solidificados en profundidad). El manto de anortosita es más delgado (unos 12 km de media) en la parte de la Luna no visible desde la Tierra. Esto puede contribuir  al desplazamiento entre el centro geométrico y el centro de masas de la Luna que es de alrededor de 1,8 km.

A unos 60 km. hay otra discontinuidad y aquí la velocidad vp  pasa de 7 a 8 km/s. Esto marca la transición entre el manto de anortosita y el manto de olivina/piroxeno (𝞀~3.400 kg/m³). Recordemos del Legado 1 que la anortosita es una plagioclasa que flotó en el magma lunar mientras el olivino y piroxeno mas pesados se hundían en dicho magma.

En la Luna tenemos tres capas: la corteza, la litosfera y la astenósfera. La primera está formada por una corteza similar a la terrestre pero cambiando los granitos por la anortosita. Al igual que sucede en la corteza terrestre su espesor es muy variable siendo menor de 20 km. debajo de algunos mares (llanuras de lava, especialmente el mar de la Crisis) y de unos 120 km. en la cara oculta de la Luna. La litosfera está formada por un manto superior de 250 km. de ancho (de los 60 de media,  a los 300 km) y un manto medio de 300 km. a 1000 km. La segunda con un manto inferior puede extenderse hasta el centro de la Luna. Puede estar parcialmente fundido pues las ondas S no la atraviesan. En la época de exploración del Apolo no se había descubierto el pequeño núcleo lunar. Este se descubrió 30 años después: se componía de dos partes uno exterior parcialmente fundido y otro interior sólido.

Estudio de la estructura interna de la Luna

Teniendo en cuenta los valores de la velocidad de las ondas P y S de las figuras 4 y 5 y procediendo igual que se ha explicado en teoría, y con la salvedad de no haber tenido en cuenta las discontinuidades ni el cambio de propiedades del material y tomando el ancho de la capa superficial de 50 km. Para conseguir la masa 0 en el centro lunar, hemos variado la densidad superficial encontrando el valor idóneo en 3.296,1833 kgr/m³ en cuanto a la presión a 25 km de profundidad (1713 km del centro) resulta del cálculo 0,132 Gpa cuando el valor que da la bibliografía es 0,12. 

Fig. 6 Perfil de densidad y presión obtenido resolviendo la ecuación de Adams-Williamson al interior lunar y luego realizado un ajuste de potencias para suavizar la curva.

Fig. 7 Perfil de masa que queda por debajo de un radio r y aceleración de la gravedad obtenido resolviendo la ecuación de Adams-Williamson al interior lunar y luego realizado un ajuste de potencias para suavizar la curva.

El núcleo lunar

En el análisis de los seísmos profundos detectados por los sismómetros del programa Apolo hay una única evidencia sísmica de núcleo en una observación a 168º (casi en los antípodas de la fuente). Ello significa que las ondas P atravesaron el núcleo (si es que existe) y lo hicieron con una velocidad más lenta (3,7 a 5,1 km/s). La observación implicaría según Taylor (1998) un núcleo de entre 170 y 360 km. de composición desconocida. La existencia del núcleo lunar era intuida pero dudosa.

Fig. 8 Situación de los focos de los seísmos lunares son muy profundos entre 600 y 1.000 kilómetros. La no detección de focos en la parte lejana ha permitido albergar la sospecha de la existencia de un pequeño núcleo central que parece crear una zona de sombra sísmica. Este núcleo sería en parte fundido, aunque la Luna no presenta actualmente campo magnético. Algunos modelos preconizan temperaturas de 800 ºC a 300 km de profundidad.

En 1998 el equipo que dirigía el magnetómetro del Lunar Prospector, encabezado por Lon Hood (Universidad de Arizona), completaron el trabajo que había iniciado Taylor el año anterior. Usando los instrumentos a bordo de la nave espacial, midieron el campo magnético de la Tierra que es afectado por las ligeras alteraciones causadas por la Luna. Los datos se reunieron en abril del 1998 mientras la Luna giraba a través del lóbulo de la cola norte de la magnetosfera de la Tierra. El magnetómetro de la nave espacial descubrió cambios en el campo magnético de Tierra. Ello dio a los investigadores la información que necesitan para estimar el tamaño del núcleo de la Luna. Ese tamaño es muy pequeño. Hood y sus colaboradores asignaron un radio al núcleo lunar de sólo 340± 90 km. Con una composición rica en hierro, un núcleo de este tamaño representa del 1 al 3% de la masa del total de la Luna. En contraste, el núcleo de la Tierra tiene aproximadamente 33% de la masa del total de nuestro planeta. Esta nueva evidencia de un pequeño núcleo lunar fortalece la Teoría del Gran Impacto que hemos visto en el Legado 2. Ambas determinaciones  de Taylor y Hood tienen una zona de compatibilidad.

Fig. 9 Este diagrama muestra la región de la magnetosfera de la Tierra, (en verde) dominada por el campo magnético de Tierra. Las líneas de fuerza del campo las produce el núcleo de la Tierra de la misma manera que si hubiera en del centro del planeta un imán como una barra gigante. Las flechas en las líneas señalan la dirección de la fuerza magnética. El área azul obscuro es  el área de la magnetosfera interseccionada por la inclinación de la órbita lunar. La cola de la magnetosfera la causa el flujo del viento solar que la estirar como si fuera el flujo de un río causado por el Sol que está en el lado izquierdo del diagrama. La órbita de la Luna corta la cola magnética de Tierra.

La Luna, como cualquier conductor, tiene corrientes eléctricas inducidas en su interior cuando se expone a un cambio del campo magnético externo. Estas corrientes producen un campo magnético inducido lunar. Esto no exige que la Luna ser capaz de generar su propio campo magnético. De hecho, la Luna hoy no tiene un campo magnético producido internamente como la  Tierra. Pero las muestras de la rocas lunares muestran un magnetismo remanente que sugiere que hace de entre tres a cuatro mil millones años, el núcleo lunar si estaba produciendo su propio campo magnético. La cuestión que surge es ¿Cuándo cesó el campo magnético de la Luna? La mejor suposición es que el núcleo, como el resto de la Luna, se enfrió lo suficiente para causar la solidificación del centro, por lo menos en parte. El campo magnético habría cesado cuando el flujo de metal fundido en el núcleo cesó.

En agosto de 2014, investigadores japoneses gracias a las mediciones de la sonda Selene obtuvieron nuevos datos sobre la estructura interna de nuestro satélite. Además de la sismografía, hay otra manera de conocer la estructura interna de la Luna, observar los cambios que producen en la forma de ésta la fuerza externa de la Tierra. Aunque estamos acostumbrados a pensar en la influencia gravitatoria de la Luna en nuestro planeta en forma de mareas, el efecto es aún mayor en nuestro satélite, donde la corteza se eleva hasta 50 cm por la influencia de la gravedad terrestre. Lo que ha estudiado el equipo de Harada son estas deformaciones en el terreno, que permiten conocer mejor su composición.

En un estudio publicado en Nature Geoscience, los científicos aseguran que las mareas que se observan sobre la corteza lunar pueden explicarse bien si se asume que hay una capa extremadamente blanda en la parte más profunda del manto. La influencia gravitatoria de la Tierra sobre esta capa puede estar transformándose en energía en forma de calor, y que eso mantendría el núcleo de la Luna aún caliente, y pastoso millones de años después de su formación. Dentro de este núcleo pastoso hay otro núcleo totalmente sólido.

Fig. 10 Los interiores de la Tierra y la Luna comparados

Bibliografía:

• The Scientific Legacy of Apollo (Ian A. Crawford, Department of Earth and Planetary Sciences, Birkbeck College,University of London en arXiv 2012)
• Los resultados científicos del Apolo XI (Rafael Bachiller, Director del Observatorio Astronómico Nacional.
• Redescubriendo la Luna (Jorge I. Zuluaga, Astrónomo del SEAP y FCEN Universidad de Antioquía, Colombia)
• Taylor, G. J. "Origin of the Earth and Moon." Dec 1998. Planetary Science Research Discoveries
• Apuntes míos: Origen de la Luna (Cap. 27.10.10) Datación de superficies planetarias (Cap. 5.4.2) La estructura interna de la Luna (Cap.20 Libro) El núcleo lunar (Capítulo 2b)

Otros artículos de esta serie:

0) Legado 0: Legado del programa Apolo (Introducción)
1) Legado I: Análisis de las rocas lunares

2) Legado II: Origen de la Luna 

3) Legado III: Datación por densidad de craterización. Calibrado. Bombardeo masivo tardío. La Luna se encoge. 

4) Legado IV: Estructura del interior lunar (éste)

5) Legado V: El pasado y futuro del sistema Tierra-Luna