Los calendarios y la fecha de la Pascua gregoriana

Desde hace muchos años he contado la historia de que la fecha del domingo de Pascua es el primer domingo después de la primera luna llena de la primavera. Naturalmente en el hemisferio norte. Para mi, amante de la astronomía es un bello hecho que implica saber cuando es la Primavera (20, 21 de marzo), saber cuando es la primera luna llena de la primavera y esperar al domingo siguiente. Hace pocos días mi amigo Paco Burguera me indicó, en estas charlas de jubilados en la que por cierto, no cuidamos obras ni alimentamos a las palomas, que en 2019 esto es falso. La primavera empieza el 20 de marzo a las 21h 57m TU y hay luna llena el 21 de marzo del 2019 que es jueves, así que la Pascua debería ser el domingo 24 de marzo. Sin embargo una consulta al calendario y resulta que es el domingo 21 de abril después de la segunda luna llena de la primavera, que ocurre el viernes 19 de abril. A la primera fecha le podremos llamar pascua astronómica. A la segunda, pascua eclesiástica y en 2019 no coinciden. 

Para mí físico, catedrático de Matemáticas jubilado en el IES Luis Vives de València y que a lo largo de mi vida académica he dado en Informática, programación en Visual Basic y Applets de Java, a los alumnos de ciencias de 2º de Bachiller, el algoritmo de Gauss del cálculo de la Pascua ha sido un motivo recurrente. Fue fascinante observar una excepción en una regla que consideraba siempre válida, por lo menos tras la implantación del calendario gregoriano en 1582. Así que decidí investigar más y el resultado es, cuanto menos, curioso. Por cierto no se preocupen el algoritmo de Gauss calcula para la Pascua de 2019 el domingo 21 de abril.

Fig. 1 Cálculo de la fecha de la Pascua en 2019 por el algoritmo de Gauss.

Calendarios gregoriano, hebreo y musulmán

Los tres calendarios que vamos a tratar tienen una procedencia religiosa. Un calendario necesita una unidad, un origen o inicio en el tiempo y un objeto astronómico de referencia. Normalmente el origen es una acontecimiento histórico para estas religiones, que obviaremos. La unidad es el día y tiene en las tres un múltiplo común la semana de 7 días, que obviamente se relaciona con las fases de la Luna. En las tres religiones hay un día de descanso u oración que es el viernes (al-yuma’a) en la musulmana, shabat para los judíos y el domingo para los cristianos. Otro múltiplo es el mes y el año. El calendario es el intento de que el mes o año civil que tiene una duración en días entero, represente al mes lunar o al año solar cuya duración es un número irracional. Así que la perfección es inalcanzable.

Los tres calendarios son diferentes porque usan objetos de referencia distintos. El nuestro, el gregoriano usa al Sol, es un calendario solar. El calendario musulmán usa la Luna, es un calendario lunar, mientras el hebreo usa a la vez al Sol y a la Luna es una calendario lunisolar. En los calendarios hebreo y musulmán el mes, es el mes lunar. Cada mes se inicia con la luna nueva y acaba con la siguiente. 

En un principio el calendario hebreo y musulmán eran observacionales, necesitan de una observación del creciente lunar para empezar el mes en el caso musulmán o comprobar si la cebada está madura y si no es así, introducir un mes más, haciéndolo embolístico en el caso judío.

Siendo rigurosos, en el calendario musulmán, no se puede saber cuando empieza un mes y la duración que tendrá. Por tanto el comienzo del Ramadán puede tener una diferencia de un día o dos entre unos países y otros. El calendario musulmán sigue actualmente siendo observacional, no obstante existe una variante conocida como calendario musulmán tabular que tiene la duración de los meses fijada y a él nos referimos siempre a partir de ahora. En este sentido es computacional.

La duración del mes lunar o tiempo que tarda la Luna en repetir su posición relativa respecto a la Tierra y el Sol es de 29,5305891 días así que en modo rudo estos calendarios alternan meses de 29 y 30 días para conseguir un periodo medio de 29,5 días aproximado a la duración del mes lunar, pero no exacta, lo que lleva a otras complicaciones que veremos posteriormente. El mes en el calendario gregoriano tiene duraciones de 28, 30 y 31 días que vagamente se parecen al periodo sinódico lunar o al tiempo que tarda el Sol en cruzar cada uno de los 12 signos del zodiaco. Sus duraciones son arbitrarias y fruto de mil anécdotas. El año en el calendario musulmán tabular tiene 12 meses, 6 de 29 días y 6 de 30 por lo que dura 354 días añadiéndose un día extra en el último día del último mes del año llamado Dhu-al-Hijjah que pasa a tener 30 días. Estos años llamados embolísticos en el calendario musulmán tabular son similares a los bisiestos de nuestro calendario y hay 11 en un ciclo de 30 años. Así en el ciclo de 30 años hay 10.631 días y 360 lunaciones por lo que la duración del mes es de 29,53056 días que se acerca mucho más al mes lunar.

El hebreo, el gregoriano y el calendario musulmán tabular son ahora computacionales: hay unas reglas que nos dicen de antemano que años son embolísticos.

En los calendarios musulmán y judío las fase lunares están perfectamente fijadas mientras que en el gregoriano bailan a lo largo del mes. En los calendarios gregoriano y hebreo el comienzo de las estaciones está casi fijado mientras en el musulmán, el comienzo de las estaciones bailan por todo el calendario.

La Tierra tarda en dar una vuelta al Sol 365,2422 días. El calendario anterior al gregoriano, el calendario juliano, en honor a Julio Cesar, tenía 12 meses y 365 días. Cada 4 años se ponía un día extra a final de febrero y de esta forma el año civil tenía una duración de 365,25 días lo que excedía a la duración real. Vayan dos anécdotas: el año empezaba en marzo y acababa en febrero así que se añadía el día bisiesto el último día del año. El mes de julio (anteriormente quintilis, el quinto) tiene 31 días y le fue dado el nombre en honor a Julio Cesar. Años después a sextilis que tenía 30 días se le dio el nombre de agosto en honor al emperador Augusto. Pero claro no podía tener menos días que julio, ésta es la razón de que agosto tenga 31 días.

En 1582 el desajuste en el calendario juliano por la mayor duración del año era de unos 12 días lo que atrasaba la fecha del inicio de las estaciones, así la primavera empezaba sobre el 9 de marzo y hubiera acabado por caer en el más crudo invierno. Para solventarlo los astrónomos, entre los que estaba Chistoforus Clavius, sugirieron al papa Gregorio XIII que eliminara los 10 días que van del 5 al 14 de octubre de 1582, así el día siguiente al 4 de octubre fue el 15 de octubre. Para que esto no volviese a ocurrir, se quitaron los bisiestos seculares no divisibles por 400. Es decir de los años 1600, 1700, 1800, 1900, 2000, .... todos bisiestos en el calendario juliano, se quitaron tres y se mantuvieron como bisiestos 1600 y 2000 etc. Así la duración del año civil gregoriano es: 365+1/4-3/400=365,2425, que se parece mucho a la duración real. Los dirigentes de la iglesia ortodoxa no aceptaron la reforma de Gregorio XIII y siguieron con su calendario juliano. Hay pues una diferencia de 12 días entre ambos calendarios. Por ello, la revolución bolchevique en Rusia se llama Revolución de Octubre cuando según el calendario gregoriano ocurrió en noviembre. En el calendario juliano se han visto obligados a hacer variar el comienzo de la primavera, así aunque lo normal es que la pascua ortodoxa se celebre con unos días de retraso respecto a la católica, pueden llegar a coincidir.

En el calendario musulmán tabular ya que en un ciclo de 30 años hay 10.631 días, el año tiene una duración media de 354,3666...  días. Así que es 10,8758 días más corto que el gregoriano. El inicio y fin de los meses y año y sus fiestas, aunque todas son fijas en el calendario musulmán, se adelantan casi 11 días en sus fechas en el calendario gregoriano, tardando 33,6 años en recorrer todo el año gregoriano. Los principios de las estaciones pueden ocupar cualquier mes del calendario.

El calendario hebreo es lunisolar necesita ajustar la duración del mes a la revolución lunar y su año a la solar por los que es mucho más complicado. Se basa en un hecho conocido desde la antigüedad: el ciclo de Meton. Hay un común múltiplo de los ciclos solar y lunar. En 19 años tropicales hay 235 meses lunares sinódicos. En efecto:

235 lunaciones sinódicas=235x29,5305891=6.939,688 días

19 años tropicales=19x 365,2422=6939,602días

La discrepancia apenas alcanza 0,086 días=2 horas.

Cada 19 años las fases de la Luna ocurren en las mismas fechas. El ciclo debe su nombre a Meton (460 a.C.) un matemático, astrónomo, geómetra ateniense. Pero parece que este ciclo era conocido en Mesopotamia en el siglo VI a.C. El ciclo se usa en los calendarios lunisolares y por tanto en el calendario hebreo. El último mes del año hebreo se llama Adar y tiene 29 días. En un ciclo de 19 años hebreos hay: 7 años embolísticos de 13 meses lunares y 12 años de 12 meses.

Los años embolísticos son similares a los bisiestos, sólo que en vez de añadir un día, añaden un mes (Adar I) de 30 días, que se coloca antes del último mes del año que es Adar, que estos años se llama Adar II. De esta manera el año civil lunisolar intenta parecerse al año solar. Además y para adaptarse a las fases lunares a semejanza del calendario musulmán tabular se añade o quita un día (y ésta es la novedad respecto al calendario musulmán tabular). En un ciclo de 19 años hay 5 años regulares donde no se añaden días. 5 años deficientes donde se quita 1 día y 9 años completos donde se añade 1 día. Esto funciona tanto si el año es embolístico como si no. En resumen hay 6 tipos de años:

Fig. 2 Duraciones de los diferentes tipos de años en un calendario hebreo.

Ahora contemos el número de días que hay en esos 19 años:

7 años embolísticos y 12 no embolísticos y todos ellos regulares tienen:

7x384+12x354=6.936 días. Aparte, 9 de los años son completos, por lo que hay que añadir 9 días y 5 son defectuosos, por lo que hay que restar 5 días, es decir, en el ciclo de 19 años judíos hay 6.940 días.

En el calendario gregoriano, en los 19 años siempre hay 5 bisiestos, así que el total de días es  15x365+5x366=6.940.

Así que el mes medio judío tiene una duración 29,5319 días. Recordemos que el mes sinodico lunar dura 29,5305891 y el mes medio musulmán 29,53056 días.

El año medio judío dura 365,2631 días mientras que el real es 365,2422 días y el año medio del calendario gregoriano dura 365,2425 días.

¿Donde se  añaden/quitan los días en los años deficientes, regulares y completos?

El año empieza con el mes de Tishrei que tiene 30 días. El segundo y tercero es donde se hacen los cambios. Jeshván el segundo mes tiene 29 ó 30 y el tercero Kislev 30 o 29 días según la tabla:

El cuarto mes Tevet tiene 29 días.

En el calendario hebreo los años embolísticos tienen por objetivo fundamental ajustar a la duración del año real, mientras que, el quitar o añadir un día tiene por objetivo ajustar a las fases de la Luna.

Dado que el calendario gregoriano y hebreo tienen una duración media del año tan similar, si el año gregoriano es AG, para obtener el año judío AJ, hay que sumar una cantidad constante de 3.760 años. En cambio, el año musulmán tabular tiene una duración de 0,970223=65/67 años gregorianos lo que unido a su origen en el 621,54 por la Hégira, hace que la relación entre el año gregoriano A y el musulmán H sea A=0,970223H+621,54 mientras la transformación inversa es H= 1,03069(A-621,54). El año 2019 de nuestro calendario corresponde a los años 1440 y 1441.

El año hebreo tiene una duración muy variable que hace que comience en septiembre u octubre. Así los nueve o diez primeros meses corresponde al año calculado y los últimos tres meses al siguiente. Por ejemplo el año hebreo 5779 corresponde aproximadamente a los primeros 9 meses de 2019 y el último trimestre ya es del año 5780.

Para saber si un año judío es embolístico hay que dividir por 19. Si los restos de la división son 0, 3, 6, 8, 11,14, 17 el año es embolístico. En caso contrario, no.

En el calendario gregoriano la fecha de los equinoccios está perfectamente fijada a 20 o 21 de marzo. El mantenimiento del bisiesto de 1600 la llevó al 20 de marzo, con los 400 años de duración del año en 365,25 volvió al 21 y ahora con el bisiesto de 2000 es, otra vez, el 20 de marzo. Pasarán bastantes años antes de que vuelva a ser el 21, antes de que el año 2400 la devuelva al 20 de marzo.

Fig. 3 El comienzo de la primavera en el calendario gregoriano en el periodo de 19 años de 2016 a 2034. Siempre es el 20 de marzo y cambia la hora. Los mínimos corresponden a los años bisiestos debido a la introducción del 29 de febrero. De bisiesto a bisiesto, la hora disminuye aproximadamente ¾ de hora, a causa de que el año dura una fracción de día de 0,2422x24=5,813 horas y en los cuatro años son 23,25 h. Al añadir el día bisiesto 23,25-24= -0,75 h. Esto es lo que se llama declive de los bisiestos. En un siglo adelantaría el equinoccio 0,75x25=18,75 h. Pero la reforma gregoriana hace que 2100, que debería ser bisiesto, no lo sea, así que el inicio de la primavera se retrasa 24-18,75=5,25 h. Es decir de 2100 a 2400 el principio de la primavera se retrasa 5,25x4=21h. Pero llega 2400 que es bisiesto, con lo que en el ciclo de 400 años sólo hay un retraso de 3h (exactamente 2h53m).

 

Fig. 4 El comienzo de la primavera en el calendario gregoriano en las proximidades del año 2300. Ese año no es bisiesto y desde 2296 al 3004 no hay bisiestos con lo que el inicio de la primavera se retrasa más allá de las 16 h. del 21 de marzo (del libro Hemerología de Wenceslao Segura). La imagen ha sido ligeramente cambiada para eliminar errores.

Fig. 5 Ciclo de 400 años de los bisiestos del calendario gregoriano. AE representa el declive de los bisiestos del año 0 al 96, que representa un adelanto de 17h58m., que el año 100 no sea bisiesto, representa un atraso hasta el año 103 de (–0,7488-0,2422x7=0,9466d=22h43m.). Luego viene el bisiesto 104 y el atraso disminuye a 0,1888 d=4h32m. con el declive de los bisiestos del año 104 al 196. Ese año el adelanto es (–0,7488+0,1888)d=13h 26m y el ciclo sigue hasta el año 400 que es bisiesto. En el año 400 el retraso es de sólo –0,12 d=2h53m y el nuevo ciclo de 400 años se repite añadiendo ese desfase.

El año medio hebreo es muy parecido al real y a largo plazo, la fijación del comienzo de las estaciones esta asegurada. Pero la gran variabilidad del año hebreo, hace que a corto plazo, el equinoccio de primavera tenga una gran variación de hasta 27 días.

Fig. 6 Los mismos 19 años de la figura 3 están ahora calculados para el calendario hebreo. El 0 representa el día 15 de Nisan fecha de la luna llena. La primavera ocurre con esos días de adelanto respecto a esta fecha. Como el periodo lunar es de 29,5 días hay 4 años en el ciclo, en que antes del 15 de Nisan, hay otra luna llena en la primavera. Corresponde a los años hebreos 5776, 5779, 5784 y 5787 todos embolísticos y que corresponden a los años 2016, 2019, 2024 y 2027.

La fig. 6 puede verse desde un punto de vista del calendario gregoriano de la siguiente manera: los trozos rectilíneos representan siempre el 20 de marzo y al cabo de los día señalados, en cada caso, ocurre una luna llena que será la primera de la primavera excepto en 4 años del ciclo.

Vamos a usar el ciclo de 19 años del 5776 al 5794 del calendario hebreo para saber ¿qué tipo de año son? Para ello se puede usar cualquier fecha pero usaremos el 15 Nisan.

Fig.7 El ciclo hebreo de 19 años y los años embolísticos, completos, deficientes y regulares en el ciclo.

Las fiestas en los calendarios

En el calendario gregoriano hay fiestas fijas como Fallas (19 de marzo, pero que en principio se relacionaba con el equinoccio de Primavera), Navidad etc. y fiestas móviles como la Pascua. Otras muchas son móviles pero relacionadas con la Pascua  por ejemplo: miércoles de ceniza, 46 días antes de la Pascua o el corpus 60 días después.
En el calendario musulmán no hay  fiestas móviles. Todas tienen su fecha fija como el 30 de Ramadan que señala el fin del mes del ayuno y la pascua pequeña que ocurre al día siguiente 1º de Chawwal. Otras fiestas importantes son el 10 de Dhu-al-Hijjah (Pascua grande o Fiesta del cordero) o el nacimiento del Profeta que se celebra el 12 de Rabi' al-awal.

La fecha de la Pascua gregoriana

Las tres religiones tienen una fiesta de la Pascua pero con significados muy diferentes, aunque con aspectos comunes.
La Pascua hebrea (Pésaj) se celebra el 15 Nisan y festeja a salida de Egipto y el fin de la esclavitud. Es la fiesta del peregrinaje y se relaciona con el consumo de alimentos no fermentados. Es la fiesta del pan ácimo. En ella se sacrifica un cordero pascual y como señal de aprovechamiento se consume todo de él.
La Pascua cristiana celebra el martirio de Jesús en la cruz. Esto ocurre cuando el pueblo hebreo celebra el sacrificio del cordero, razón por la que el evangelista san Juan identifica a Jesús con el cordero pascual.
Es una fiesta variable y por esto estamos escribiendo esta entrada.
La fiesta musulmana del cordero conmemora la petición a Abraham (por cierto un patriarca común a las tres religiones) de matar a su hijo Ismael y cómo Abraham no duda en ejecutar el mandato divino, éste le pide que cambie su acción por el sacrificio de un cordero. Puedes pensar que me he equivocado, que el hijo no es Ismael si no Isaac, pero es que ésta es la única diferencia entre la tradición musulmana y la hebrea y cristiana. Pero volvamos a lo nuestro, la determinación de la fecha de la Pascua.
El día hebreo, al igual que el musulmán, empieza a la puesta del Sol. Cuando el Sol se pone el 14 Nisan, ha transcurrido medio mes lunar y es luna llena. La fecha de la Pascua judía es una fecha fija, el 15 Nisan. El mes de Nisan empieza como muy pronto el 13 de marzo, el equinoccio de primavera ocurre como mínimo 7 días antes de la luna llena, así que la luna llena del mes de Nisan ocurre seguro tras el equinoccio de primavera. Es más, como hemos visto, en 4 ocasiones durante el ciclo no es la primera luna llena de la primavera.

Por motivos puramente religiosos los católicos no quisieron que ambas Pascua, la hebrea y la católica coincidieran. Los católicos decidieron retrasar la Pascua al domingo siguiente. Como la Pascua hebrea puede caer en cualquier día de la semana, decidieron, que si la Pascua hebrea caía en domingo, la retrasaban al domingo siguiente.

El fallo de la regla

Sabemos que la aseveración, la fecha del domingo de Pascua es el primer domingo después de la primera luna llena de la primavera es falsa. Este año es la prueba. Pero ¿cuántas excepciones hay?

Cojamos el anterior ciclo de 19 años:

Fig. 8 La regla del cálculo de la Pascua católica en un ciclo de 19 años.

El * significa que la luna llena cae en domingo y se retrasa una semana.

Vemos que la regla funciona perfectamente excepto para 2019.

La relación entre la Pascua hebrea y católica

La relación entre la Pascua hebrea y católica es muy estrecha ¿sería posible que los católicos hubieran asumido que la pascua es el domingo siguiente al 15 de Nisan hebreo? Para averiguar cogemos los mismos 19 años:

Fig. 9 El 15 de Nisan y la fecha de la Pascua católica.

El * significa lo mismo. Hay dos, en vez de tres, porque no es lo mismo que la primera luna llena y el 15 Nisan caiga en domingo, ya que, aunque el calendario hebreo es bastante perfecto, a veces hay un ligero desfase de un día y el 15 de un mes no es luna llena.

Observamos que a diferencia de la pascua astronómica, para 2019 no hay excepción porque realmente en el año 5779 el 15 Nisan no es la primera si no la segunda luna llena de la primavera, como en el calendario gregoriano. Por tanto los cristianos no procedieron a copiar la pascua hebrea porque falla no una si no tres veces, en años embolísticos. Aunque hay 4 embolísticos que lo cumplen.

Listando los años de la no coincidencia de las pascuas astronómica y eclesiástica

Podemos averiguar ¿en qué años aparte de 2019 falla la regla? Sí y tiene que ver con el ciclo de 19 años:

Fig. 10 Listado de las excepciones a la regla.

Vemos que cada 19 años y empezando por 2019, cuando la luna llena queda a menos de un día del principio de la primavera, se produce la excepción. Hemos tenido que poner la hora del principio de la primavera y de la luna llena porque el lapso entre ellas es muy ajustado. En el año 2000, la luna llena de marzo ocurre 3 horas antes del inicio de la primavera y no hay excepción.
Por tanto, 2019 es el primero de una serie. ¿acabará algún día? ¿se dio antes esta excepción desde la reforma gregoriana al año 2000?.

La probable razón de la excepción

No obstante aún no sabemos la auténtica razón. Desde el siglo III los cristianos empezaron a desarrollar un calendario eclesiástico lunisolar computacional con un único fin. No depender de los hebreos para calcular la pascua cristiana. Un gran avance, pues por aquellos tiempos el calendario hebreo era observacional para interponer el año embolístico. Ello requirió usar el ciclo metónico y unos depurados conocimientos astronómicos que sólo se poseían en Alejandría.

Durante la reforma del calendario gregoriano hubo que dar un salto en los valores de los conceptos que se usaban para calcular la pascua católica. A modo de enunciación estos son:

El número de oro o aúreo que indica el número de orden del año dentro del ciclo metónico de 19 años. Si A es el año, para calcularlo, se halla el resto de la división de (A+1) y 19.

La epacta del año es la edad de la Luna el día 1 de enero. Cada día del año tiene una epacta que es la edad de la Luna empezando por la luna nueva. Para calcular la epacta del año, se halla el resto de (B-1)x11 y 30, donde B es el número de oro. Se puede representar en números romanos. En 2019 el número aúreo es 6 y la epacta 25: XXV

La letra dominical del año, puede ser A, B, C, D, E, F y G. Corresponde al primer domingo del año. Por ejemplo en 2019 el primer domingo es el 6 de enero, luego le corresponde la letra F. Cada día del año tiene un letra dominical y el 1 de enero tiene la letra A. Como cada año normal de 365 días tiene 52 semanas y 1 puñetero día, la letra dominical de 2018 era la G y la de 2017 la A. El avance de una año provoca el retroceso de una letra. ¿Qué pasa con los bisiestos como 2020? Que le correspondería la E en los primeros dos meses. Si el 1 de enero tiene la A, el 28 de febrero le toca la C y al 1 de marzo la E. Así que a 2020 le corresponden la ED. Al bisiesto anterior 2016 la CB. La letra dominical del año tiene un ciclo de 28 años.

La Indicción Romana es un ciclo de 15 años que surgió en el siglo IV. Para calcularla para un año A, se halla el resto de (A+3) y 15. Así para 2019 le corresponde 12 o XII.

A partir del número aúreo, la epacta y la letra dominical del año se puede calcular la luna nueva pascual y 13 días después la luna llena pascual. El domingo pascual o fecha de la pascua eclesiástica es el primer día que contenga la letra A si es 2017, la G si es 2018, la F si es 2019 o la D si es 2020.

Los algoritmos de Gauss y Butcher se basan en el calendario eclesiástico gregoriano y por tanto, en ellos, no se nota la excepción, pues calculan la pascua eclesiástica.

La excepción a la regla se debe, con toda probabilidad, a un cálculo erróneo de la luna llena pascual cuando la fecha del equinoccio y la Luna llena que ocurre con posterioridad están muy próximas. Nótese que en 2016, el equinoccio de primavera ocurre el 20 de marzo a las 4 h. 30 m. y la luna llena, ocurre el 23 de marzo a las 11 h. 59 m. con un lapso de 79,5 h. Mientras en 2038, el lapso es 25,36 horas y hay excepción. Entre ambos valores está el límite por debajo del cual ocurre la excepción a la regla.

Posdata: Durante la escritura de esta entrada he profundizado en el conocimiento de los calendarios, y he vuelto a la pasión calculista de mi juventud. Cálculo del inicio de las estaciones, cálculo de los instantes de la luna nueva y llena, que se usan para calcular los eclipses, conversión de fecha de calendario a fecha juliana, cálculo del día de la semana de una fecha, cálculo de la Pascua usando el algoritmo de Gauss y Butcher. Y aprender algo que no sabía la excepción de la regla de que la fecha del domingo de Pascua es el primer domingo después de la primera luna llena de la primavera. Pero no olvides que es una excepción que empieza este año 2019 y no se repite hasta dentro de 19 años y múltiplos de esta cifra.