El 22 de enero de 2019 Adrien Leleu, el alicantino Jorge Lillo-Box, y otros entre los que figura Jean Schneider que forma parte de los científicos del Observatoire de París que organiza desde 1995 The Extrasolar Planets Encyclopaedia publicaron el artículo titulado: Co-orbital exoplanets from close period candidates: The TOI-178 case donde establecen la posibilidad de que dos planetas coorbitales sean estables si son troyanos. Un caso que no se da en el Sistema Solar a pesar de la existencia de asteroides troyanos en varios de los planetas del Sistema Solar como Júpiter, Marte, Neptuno e incluso la Tierra y varios satélites de Saturno. Sin embargo a pesar de que vemos normal la existencia de dos grupos de asteroides troyanos, uno 60º por delante de Júpiter y otro 60º por detrás, la posibilidad de tener dos planetas del tamaño Júpiter o la Tierra o como propone Sean Raymond, un Júpiter y una Tierra coorbitando a una distancia angular de 60º el uno del otro y en zona habitable, parece de ciencia ficción.
Lo que han demostrado Adrien Leleu y otros es que ello es posible desde un punto de vista de la estabilidad y ponen de relieve la existencia de un par de planetas candidatos de TESS como son TOI-178 02 y TOI-178 03 que orbitan en unos 10 días una estrella, TOI-178, de masa 0,64 y radio 0,7 el solar. El sistema tiene un tercer planeta TOI-178 01 que orbita la estrella en sólo 6,5 días. Los radios de los planetas coorbitales son 3,7 Rt y 2,3 Rt y probablemente son neptunos calientes dado que el radio de Neptuno es 3,9 Rt. TOI-178 03 tiene una pequeña probabilidad de ser una supertierra.
Sin embargo, las configuraciones coorbitales de herradura o largo período de libración pueden explicar tal similitud de período.
Fig. 1 Los planetas TOI-178 02 y 03 son los posibles planetas coorbitales mientras TOI-187 01 es más interior y está en una resonancia 3:2.
Fig. 2 La demostración de su naturaleza coorbital puede resolverse considerando las variaciones de tiempo de tránsito (TTV) de cada planeta.
Hay que destacar que son candidatos y no planetas confirmados. Al igual que en el satélite Kepler donde los candidatos no confirmados se llamaban KOI (Kepler Objet of Interest) en el caso del satélite Tess los objetos no confirmados se llaman TOI. El sistema TOI-187 tiene tres planetas no confirmados nombrados como en Kepler, TOI-187 01, 02 y 03.
Aparte de ser, de momento candidatos, y aunque las tres órbitas están cercanas a una cadena resonante 3:2:2, con dos planetas coorbitales y el interior en resonancia 3:2, no podemos excluir un sistema cerca de una configuración 4:3:2 que no tendría cuerpos coorbitales.
Puede pensarse que es el primer sistema descubierto con dos planetas coorbitales, pero no es así: Kepler-132 b y c son dos planetas coorbitales confirmados en 2014 que forman parte de un sistema de 4 exoplanetas de radios entre 1,17-1,54 Rt por lo que deben ser cuatro supertierras donde los dos coorbitales de periodos 6,178196 y 6,414914 días están acompañados de dos planetas exteriores de periodos 18,010199 y 110,286937 días. A pesar de lo que dice Jorge Lillo-Box no he podido encontrar información de que los dos coorbitales no son tales sino que giran en realidad alrededor de dos estrellas binarias diferentes.
Kepler-271 es también un sistema confirmado de tres planetas b, c y d. Kepler-271 b y c fueron descubiertos en 2014 y Kepler-271 d en 2016. Kepler-271 b y d de radios 0,88322 y 0,65962Rt respectivamente son los planetas coorbitales con periodos 5,217738 y 5,24972541 días respectivamente. Están acompañados de un tercer planeta exterior de radio 0,99502Rt y periodo 7,410935 días y no he encontrado ninguna información de que estén en resonancia 2:1. En la degeneración 2:1 un planeta excéntrico son en realidad dos planetas en resonancia 2:1 menos excéntricos y no al revés. Si estos planetas no fueron aceptados en su tiempo o considerados como falsos positivos por su rareza, dado que no son estables Hill, ahora con los candidatos TOI-187 02 y 03 estamos más próximos a encontrar planetas troyanos. Jorge Lillo-Box tiene tanta fe en ello que ha creado su proyecto TROY. Lo que ha demostrado con su trabajo, es, que los planetas troyanos físicamente pueden existir y todo lo que físicamente no está prohibido existe y acabará por descubrirse. Además, su trabajo y el de sus colegas, propone un método de VTT (Variación del Tiempo de Tránsito) para calcular sus masas y demostrarlo. Pero la historia de los troyanos no empieza ahora, se remonta al siglo 18 con el matemático Joseph-Louis Lagrange.
Puntos de Lagrange
En 1772, el matemático italiano de origen francés Joseph-Louis Lagrange, cuando no se habían descubierto ni Urano ni Neptuno, escribió su obra Essai sur le problèm des trois corps en el que trataba de descubrir una manera de calcular la evolución de las posiciones de tres cuerpos sometidos a la interacción gravitatoria. La mecánica de Newton resuelve completamente el problema de dos cuerpos, ambos si su energía total es negativa (sistema ligado) tienen una trayectoria elíptica alrededor del centro de masas del sistema. Sin embargo, desde entonces hemos sido incapaces de resolverlo si hay más de dos cuerpos. Lagrange consideró un caso particular más sencillo, el problema restringido circular: supone que el tercer cuerpo tiene una masa tan pequeña que su acción gravitatoria sobre los otros dos cuerpos es despreciable y además que los dos cuerpos orbitan alrededor del centro de masas en una órbita circular.
Joseph-Louis Lagrange nacido en Turín, en 1736, murió en París en 1813. Como matemático destacan sus contribuciones al álgebra (resolución de ecuaciones algebraicas hasta de cuarto grado, determinantes, subgrupos etc.) ecuaciones diferenciales y teoría de números. Pero su contribución a la física no es menos importante. Movimiento vibratorio, cálculo de variaciones, mecánica de fluidos, destacando fundamentalmente su contribución a la Astronomía a la que dedicaremos un poco más de espacio:
- Introducción de la idea de potencial. El potencial de un cuerpo en un punto es la suma de cada elemento de masa del cuerpo dividido por su distancia al punto. Lagrange mostró que si el potencial de un cuerpo a un punto externo fuera conocido, podría determinarse la fuerza de atracción del cuerpo sobre el punto.
- Gravitación de elipsoides, un punto de partida del trabajo de Maclaurin.
- Tratado sobre las perturbaciones cometarias: método para determinar la órbita de un cometa con tres observaciones. Aunque el método no es utilizado, su sistema de calcular las perturbaciones, es la base de la mayoría de las futuras investigaciones.
- Movimientos del sistema joviano.
- La ecuación secular de la Luna. El movimiento de libración lunar.
- El movimiento de los nodos de la órbita de un planeta.
- La estabilidad de las órbitas planetarias.
- Su determinación de las variaciones seculares y periódicas de los elementos orbitales de los planetas. En 1806, Poisson, en un artículo leído ante la Academia francesa, mostró las fórmulas de Lagrange para la estabilidad de las órbitas. Lagrange, analizó entonces de nuevo el problema, y en una carta comunicada a la Academia en 1808 explicó cómo podían determinarse las desigualdades periódicas y seculares de cualquier sistema gravitatorio por la variación de constantes arbitrarias.
- El problema restringido circular: en el problema de los tres cuerpos, descubrió los puntos de Lagrange en 1772, de interés porque en ellos se han encontrado los asteroides troyanos y los satélites troyanos de Saturno y ahora los planetas troyanos.
En el problema de dos cuerpos, resuelto completamente por Isaac Newton, tanto el mayor como el menor se atraen mutuamente con la misma fuerza. Pero el menor responde por su menor masa mucho más que el grande a esa fuerza girando los dos alrededor del centro de masas de ambos. Si m₁ y m₂ son las masas y r la distancia que los separa, el baricentro o centro de masas se sitúa a una distancia tal que se cumple:
m₁ r₁=m₂ r₂ con r₁+r₂=r
Es como si en un columpio de 6 metros de longitud se colocan dos niños de 12 kg. el centro de masas viene dado por la posición del punto de apoyo para que el columpio esté equilibrado. A la mitad de ambos niños a 3m. Pero si se sientan un padre de 60 kg. y su hijo de 12 kg. el centro de masas a hay que colocarlo a un metro del padre.
Fig. 3 Un columpio como sinónimo del centro de masas.
Si se trata del sistema Sol-Tierra el centro de masas está ubicado cerca del centro del Sol debido a la diferencia de la masas entre ambos cuerpos. En el caso del sistema Sol-Júpiter, el baricentro se encuentra cerca de la superficie solar y un sistema binario con las dos masas iguales en el centro que la distancia que las separa.
En el problema restingido circular Lagrange considera un sistema de referencia que gira con los cuerpos mayores. Encontró cinco puntos fijos específicos en los que el tercer cuerpo, al seguir la órbita de los de mayor masa, se halla sometido a fuerza cero. Estos puntos nombrados L₁ a L₅ fueron llamados puntos de Lagrange en su honor. Estos puntos marcan las posiciones donde la atracción gravitatoria combinada de las dos masas grandes proporciona la fuerza centrípeta necesaria para rotar sincrónicamente con la menor de ellas. Los puntos de Lagrange son las soluciones estacionarias del problema restringido circular. Si, por ejemplo, se tienen dos cuerpos grandes en órbita circular alrededor de su centro de masas común, hay cinco posiciones en el espacio donde un tercer cuerpo, de masa despreciable frente a la de los otros dos, puede estar situado y mantener su posición relativa respecto a los dos cuerpos grandes.
Fig. 4 Curvas de potencial en un sistema de dos cuerpos (aquí el Sol y la Tierra), mostrando los cinco puntos de Lagrange. Las flechas indican pendientes alrededor de los puntos L, acercándose o alejándose de ellos. Contra la intuición, los puntos L₄ y L₅ son máximos.
El punto L₁ está entre las dos masas grandes m₁ y m₂ en la recta que las une. Es el más intuitivo de los puntos de Lagrange, aquel en que las atracciones opuestas de los dos cuerpos mayores se compensan. El punto L₂ está en la línea definida por las dos masas grandes m₁ y m₂, y más allá de la más pequeña de las dos. En él la atracción gravitatoria de los dos cuerpos mayores compensa la fuerza centrífuga causada por el menor. El punto L₃ está en la línea definida por las dos masas grandes m₁ y m₂, y más allá de la mayor de las dos. El punto L₄ y el punto L₅ están en los vértices de triángulos equiláteros cuya base común es la recta que une las dos masas, de forma que el punto L₄ precede al cuerpo pequeño un ángulo de 60º visto desde la masa grande, mientras que L₅ gira detrás del cuerpo pequeño, aunque con radio mayor que este, con un retraso de 60º visto a su vez desde el cuerpo grande. Los puntos de Lagrange, así como el cuerpo menor de masa M₂, no giran sobre el cuerpo grande, sino sobre el centro de masas de ambos cuerpos.
Los cinco puntos lagrangianos se ubican como sigue:
Fig. 5 Diagrama que muestra los cinco puntos de Lagrange en un sistema de dos-cuerpos de masa muy diferente (por ejemplo el Sol y la Tierra). En un sistema así, L₄ y L₅ parece que giran en la misma órbita que el cuerpo segundo, aunque de hecho lo hace ligeramente más alejado del primero.
Los primeros tres puntos de Lagrange son técnicamente estables sólo en el plano perpendicular a la línea entre los dos cuerpos. Esto puede verse más fácilmente considerando el punto L₁. Una masa de prueba desplazada perpendicularmente de la línea central sentiría una fuerza atrayéndola hacia el punto de equilibrio. Esto es así porque las componentes laterales de la gravedad de las dos masas se suman para producir esta fuerza, mientras que las componentes a lo largo del eje que une las masas m₁ y m₂, se anula. Sin embargo, si un objeto situado en el punto L₁ fuera llevado hacia una de las masas, la atracción gravitatoria que siente por esa masa sería más grande, y sería atraído hacia ella.
Aunque los puntos L₁, L₂ y L₃ son nominalmente inestables, resulta que es posible encontrar órbitas periódicas estables alrededor de estos puntos, por lo menos en el problema restringido de los tres cuerpos. Estas órbitas perfectamente periódicas, denominadas órbitas de halo, o las órbitas Lissajous cuasi-periódicas no existen de forma natural en el Sistema Solar y probablemente en los sistema extrasolares. Se han usado en todas las misiones espaciales a los puntos de libración con fines que no vamos a tratar aquí. Las órbitas no son perfectamente estables, pero un esfuerzo relativamente modesto lo mantiene en la órbita Lissajous durante un largo período.
Los puntos L₄y L₅ sí son totalmente estables en el caso de la órbita circular, pero en el caso más general de órbitas elípticas, no hay ya puntos estacionarios sino que más bien se trata de un área de Lagrange. Los puntos de Lagrange sucesivos, considerando órbitas circulares en cada instante, forman órbitas elípticas estacionarias, geométricamente semejantes a la órbita de los cuerpos mayores. Es por esta razón que los puntos de Lagrange, también denominados puntos L o puntos de libración. Los asteroides troyanos alrededor de Júpiter oscilan alrededor de L₄ y L₅ con una amplitud promedio de 33° oscilando alrededor de los 60º entre valores tan dispares como 0,6° y 88° y periodo que en promedio, es de unos 150 años. Los asteroides troyanos están pues atrapados alrededor de los puntos L₄ o L₅ en órbitas llamadas tadpole. ¿Sería posible que un cuerpo se librase de L₄ o L₅ para viajar entre ambos puntos? La contestación es que sí. Viajan en una órbita de herradura. ¿Existen en el Sistema Solar cuerpos así? La respuesta es que sí. Los satélites de Saturno Jano y Epimeteo están en este tipo de órbita y la prueba espacial Lucy cuyo lanzamiento está previsto para 2021 hará un viaje entre los puntos L₄ y L₅ del sistema Sol-Júpiter. Volveremos a esta cuestión más adelante.
Asteroides troyanos
Pasaron 134 años desde que en 1772 el matemático Joseph-Louis Lagrange previera la existencia de los puntos L₄ y L₅ hasta que en 1906 cuando Max Wolf descubrió el primer asteroide troyano Aquiles, en el punto de Lagrange L₄ del sistema Sol-Júpiter. Hasta este momento, la publicación de Lagrange, se había considerado un divertimento matemático. Ese mismo año August Kopff descubrió a Patroclo en el punto de Lagrange L₅ y al año siguiente el mismo Kopff descubrió en L4 a Héctor. El nombre troyanos se debe a que, por convención, cada miembro recibió el nombre de una figura mitológica de la guerra de Troya.
Fig. 6 Localización de los asteroides troyanos de Júpiter. También se muestra el cinturón principal de asteroides y el Sistema Solar interno.
A continuación se decidió dar a los asteroides próximos a L₄ nombres de héroes griegos de la Iliada: Agamenon, Ulises, Néstor, Alax, Diomedes pero antes el troyano Héctor se había colado en las tropas griegas. En L₅ todos son troyanos (Príamo, Anquiles Eneas, Troilo,...) excepto Patroclo un autentico caballo de Troya.
Hasta abril de 2010, el número de troyanos superaba los 4.000. Se cree que el número total de troyanos de Júpiter mayores de 1 km. ronda el millón, una cantidad similar al número de asteroides del cinturón principal del mismo tamaño.
En 1990 se descubrió el primer troyano en un planeta distinto de Júpiter; (5261) Eureka, un troyano perteneciente a Marte. Más tarde, en 2001, se halló el primer troyano de Neptuno: 2001 QR322 y en 2010 se descubrió 2010 TK7 un troyano de la Tierra que mide alrededor de 300 metros de diámetro.
Pero volvamos a los troyanos de Júpiter. Los asteroides troyanos se encuentran distribuidos en dos regiones alargadas y curvadas alrededor de estos puntos de Lagrange. Cada grupo se extiende 26° a lo largo de la órbita de Júpiter, lo que suma un total de 2,5 U.A. La anchura de cada grupo es similar a la de dos radios de la esfera de Hill, lo que en el caso de Júpiter suma unas 0,6 U.A. Muchos troyanos de Júpiter tienen inclinaciones orbitales (relativas al plano orbital del planeta) de más de 40°. Los troyanos de Júpiter tienen órbitas con semiejes mayores entre 5,05 U.A y 5,35 U.A., con un semieje mayor promedio de 5,20±0,15 U.A.
Los troyanos no mantienen una distancia fija con el planeta. Lentamente sufren una libración alrededor de sus respectivos puntos de equilibrio, variando su distancia con Júpiter de manera periódica con una disparidad de amplitudes que no alcanzan los 90º y menos aún los 120º necesarios para que haya un intercambio de asteroides entre ambos grupos.
Se cree que el grupo L₄ podría contener entre 160.000 y 240.000 asteroides con diámetros mayores de dos kilómetros y alrededor de 600.000 con diámetros mayores de un kilómetro. Estos números son comparables a los miembros del cinturón de asteroides. Se estima que la suma de las masas de todos los troyanos es de 0,0001 veces la masa de la Tierra, o una quinta parte de la masa del cinturón principal.
El troyano de mayor tamaño es Héctor, con un radio de 101,5±1,8 km. El valor medio es un troyano de 42 km. de radio. Existen pocos troyanos cuyo tamaño sea mucho mayor que el promedio de la población. El número de troyanos por debajo del valor medio crece más rápidamente, que en el cinturón principal, aunque luego ese crecimiento se iguala en el número. Los troyanos de menor tamaño se cree que son los productos de colisiones entre troyanos mayores.
Ahora sabemos que los asteroides troyanos son una mezcla de asteroides de clases muy diferentes (tipos C, D y P) con distintos colores (el espectro de emisión es ligeramente rojizo) y son cuerpos oscuros (sus albedos oscilan entre 0,03 y 0,11). El troyano de mayor albedo es Enomo con 0,18. ¿A qué se deben estas diferencias? Son un reflejo, como veremos luego, de sus diferentes procedencias. No existen evidencias sólidas de la presencia de agua. Solamente el asteroide Enomo podría indicar la existencia de agua en su interior, en forma de hielo. La presencia de materia orgánica sólo se ha evidenciado en los troyanos Agamenón y Patroclo.
Sus densidades varían entre los 0,8 gr/cc y 2,5 g/cm³. La primera corresponde al asteroide binario Patroclo lo que sugiere que otros muchos troyanos tienen tamaños y composiciones más similares a los cometas u objetos del Cinturón de Kuiper (hielo con una capa de polvo a su alrededor). El compañero de Patroclo, Menoetos, orbita a unos 650 km. mucho más pequeña que la esfera de Hill de 35.000 km. La densidad de 2,5 gr/cc corresponde al troyano binario de contacto Héctor (dos asteroides que orbitan tan cerca que acaban estableciendo contacto, como Proxima Thule en el Cinturón de Kuiper). Esta diferencia de densidades es desconcertante e indica que el origen de los asteroides troyanos es muy diverso. Se cree que fueron capturados en sus órbitas durante los primeros estadios de la formación del Sistema Solar, entre 500 a 600 millones de años después y durante la migración de los planetas gigantes lo que explicaría su diversidad. Parece que los troyanos fueron capturados durante la migración planetaria, provocada por el paso de Júpiter y Saturno a la resonancia orbital 1:2. Cuando esto ocurrió, Urano y Neptuno, y Saturno en cierta medida, se movieron hacia el exterior, mientras que Júpiter lo hizo ligeramente hacia el interior. Esta migración de planetas gigantes desestabilizó el Cinturón de Kuiper primordial, el cual expulsó millones de objetos hacia el interior del Sistema Solar. Estos objetos se acumularon y formaron los troyanos que se observan actualmente. Dicho con otras palabras, los asteroides troyanos se formaron originalmente en diferentes partes y por tanto guardan un registro de los procesos de formación del Sistema Solar y de cómo los planetas gigantes cambiaron sus órbitas en el pasado.
Otra teoría minoritaria sugiere que se formaron in situ. La última etapa de la formación de Júpiter involucró un crecimiento descontrolado de su masa debido a la acreción de grandes cantidades de hidrógeno y helio del disco protoplanetario; durante este crecimiento, el cual se prolongó solamente unos 10.000 años, la masa de Júpiter se multiplicó por diez. Los planetesimales que tenían órbitas cercanas a la de Júpiter fueron capturados por el campo gravitatorio cada vez más intenso del planeta gigante. Esta hipótesis presenta el problema de que el número de cuerpos atrapados excede en cuatro órdenes de magnitud la población de troyanos observada. No explicaría la diversidad de troyanos pero sí la inexistencia de troyanos de Saturno.
La sonda Lucy que despegará en octubre de 2021 estudiará los dos grupos de troyanos en los puntos L₄ y L₅: En su viaje a la órbita de Júpiter, en abril de 2025 pasará por el asteroide DonaldJohnson (1981 EQ5), un asteroide del cinturón principal de tipo C. Ya en L₄, en agosto de 2027 pasará por Eurybates (tipo C), en septiembre de 2027 visitará Polymele (1999 WB2), un asteroide de tipo P, en abril de 2028 se acercará a Leucus (1997 TS25) y en noviembre del mimo año a Orus (1999 VQ10), dos asteroides de tipo D. Luego Lucy se dirigirá hacia la órbita de la Tierra y en marzo de 2033 sobrevolará el asteroide binario de tipo P Patroclo/Menoetos en L₅. La visita a Patroclo es muy interesante por ser binario, el menos denso, posiblemente un objeto del Cinturón de Kuiper y quizá tener materia orgánica.
El número de troyanos observados alrededor del punto L₄ es ligeramente superior al del punto L₅; esta disparidad se puede o no deber a un sesgo en la observación. No obstante, algunos modelos indican una estabilidad ligeramente mayor en el grupo L₄.
Las simulaciones muestran que aproximadamente un 17% de los troyanos iniciales de Júpiter son inestables, por lo que debieron ser expulsados en algún momento del pasado. El futuro a largo plazo de los troyanos es incierto por un comportamiento caótico con el tiempo causado por débiles resonancias con Júpiter y Saturno lo que reduciría su número. Además, los fragmentos eyectados de las colisiones entre troyanos también reducen lentamente su población.
En noviembre de 2018 Romina P. Di Sisto et. al. publicó The dynamical evolution of escaped Jupiter Trojan asteroids, link to other minor body populations en el que mediante simulaciones numéricas confirman la existencia de troyanos inestables. Hay una asimetría real entre L₄ y L₅ y que la tasa de escape de troyanos de L₅ es 1,1 veces mayor que en L₄. En asteroides con diámetro D>1 km. establecen dicha tasa en 18 troyanos expulsados de L₄ y 14 troyanos L₅ cada millón de años.
El tiempo de vida promedio de los troyanos escapados en el Sistema Solar es de 264.000 años para L₄ y de 249.000 años para L₅. Casi el 90% troyanos que escaparon cruzaron la zona de los Centauro y sólo los troyanos L₄ llegaron a la zona transneptuniana. Los centauros son un tipo entre asteroides y cometas, de ahí su nombre, que orbitan alrededor del Sol entre Júpiter y Neptuno.
La contribución de L₄ a los Centauros y TNO, es varios órdenes de magnitud mayor que la de L₅. Teniendo en cuenta la eliminación por colisiones, además de la dinámica, y suponiendo que los troyanos que escapan por colisiones siguen el mismo comportamiento que los eliminados por la dinámica, tendríamos una pequeña contribución de los troyanos a los cometas y centauros.
Las órbitas de herradura de los satélites de Saturno Jano y Epimeteo
Jano y Epimeteo son satélites coorbitales naturales de Saturno. Dos satélites coorbitales ocupan la misma órbita. Es decir están en resonancia 1:1. Estos satélites están en una curiosa órbita de herradura. También son coorbitales con Júpiter los asteroides troyanos que preceden o siguen a 60º de Júpiter.
Los astrónomos asumieron que había sólo un cuerpo en esa órbita, y como es evidente, era imposible reconciliar las observaciones de dos objetos distintos interpretándolos como si fuesen uno sólo.
El descubrimiento de Jano se atribuye al astrónomo francés Audouin Dollfus que el 15 de diciembre de 1966 observó a uno de los dos desde el Observatorio de Pic du Midi. Es difícil saber a cuál de ellos. El 18 de diciembre, Richard L. Walker hizo una observación similar que se acredita ahora como el descubrimiento de Epimeteo. Doce años después, en octubre de 1978, Stephen M. Larson y John W. Fountain de la Universidad de Arizona comprendieron que las observaciones de 1966 se explicaban mejor si había dos objetos distintos (Jano y Epimeteo) compartiendo órbitas muy similares.
Cuando ya se conocía su duplicidad, Jano fue observado también por la sonda Pioneer 11 al pasar cerca de Saturno, el 1 de septiembre de 1979 y por la sonda Voyager 1 el 1 de marzo de 1980, En ese momento Jano se movía por dentro de la órbita de su gemelo, Epimeteo, que en ese momento era el más exterior.
La distancia de Jano a Saturno es 152.045 km. y la de Epimeteo es 152.050 km: una separación de sólo 5 km. Las dimensiones de Epimeteo son 130×114×106 km. con una masa de 5,266x10¹⁷ kg. Mientras que Jano es más grande y pesado. Mide 203×185×1526. con una masa de 1,8975 x10¹⁸ kg. Al desplazarse casi en la misma órbita viajan a velocidades muy similares, pero el satélite interior va ligeramente más rápido que el exterior, por lo que lo adelanta lentamente. Parece inevitable que se produzca un choque entre ambos, pero cuando se acercan entre sí su mutua atracción gravitatoria altera su cantidad de movimiento: el satélite interior gana cantidad de movimiento, se mueve hacia una órbita superior y pierde velocidad. El satélite exterior pierde cantidad de movimiento, se mueve hacia una órbita interior donde gana velocidad.
En pocas palabras: los dos satélites intercambian sus posiciones, el satélite interior se convierte en exterior y empieza a rezagarse. Ahora bien como la masa de Jano es 3,60 veces más masivo que Epimeteo la oscilación en su órbita es menor que la de Epimeteo. Cuando van a chocar, Jano que va por fuera, disminuye su órbita de 152.050 km. a 152.040 km. y Epimeteo, que a por dentro, pasa 152.010 km. a 152.080 km., así que intercambian los papeles y Epimeteo que iba a alcanzar a Jano ahora va más despacio que Jano y se aleja. Este hecho se repite cada cuatro años pero al revés. El 21 de enero de 2006 ocurrió uno de estos periódicos acercamientos. Hasta donde se conoce, esto es único en todo el Sistema Solar.
En la fig. 12 vemos que en un sistema rotante Epimeteo recorre la mayor parte de la órbita mientras Jano que tiene 3,6 veces más masa recorre una pequeña parte de la órbita. Además el ancho de la órbita de Epimeteo es mucho mayor que la de Jano como corresponde a un cuerpo menos masivo y que por tanto sufre una mayor variación en su velocidad por la interacción con Jano. Veremos posteriormente órbitas de herradura de dos cuerpos de masas similares que se reparten por igual (180º) el arco de la órbita y cuerpos uno más masivo que el otro, donde podemos considerar al primero inmóvil y al segundo recorrer todo el arco acercándose por ambas partes hasta una distancia equivalente al radio de Hill.
¿Se puede calcular el arco que recorre cada cuerpo en el caso de una relación de masas m? Al respuesta es sí y es un problema similar al cálculo del centro de masas. Es decir
La verdad es que en principio esto dependería de si es Epimeteo (E) o Jano (J) el que va por dentro. Pero la diferencia, hechos los cálculos, es despreciable. En el primer caso: T_E=0,69961 d=16,7926 h. T_J=0,699968 d=16,7992 h.
El movimiento medio n_E=21,4380º/h mientras n_J=21,4296º/h.
La diferencia en movimientos medios 𝜟n=8,408x10⁻³ º/h=0,2018º/día.
Por tanto el periodo entre dos encuentros es 360º/0,2018º/día=1.784 días.
Y las velocidades angulares de Epimeteo 281º,8/1784d=0,158º/día y de Jano 78º,2/1784d=0,044º/d. En el otro caso T=1771d. Pero n casi igual 0,159 y 0,044.
Órbita de herradura
Una órbita en herradura es un tipo de movimiento de dos cuerpos co-orbitales alrededor de un tercero muy grande. Dado que están en resonancia 1:1 los períodos orbitales son parecidos. Además se observan desde un sistema giratorio que mantiene fijo a uno de los cuerpos. Su trayectoria parece tener una forma de herradura. Cuando el objeto se acerca al cuerpo más grande en cualquiera de los extremos de su trayectoria, su dirección aparente cambia. A lo largo de todo un ciclo, el planeta más pequeño traza el contorno de una herradura, con el cuerpo más grande entre los cuernos.
Las lunas de Saturno, Epimeteo y Jano, están entre sí en órbitas de herradura. Algunos asteroides están en órbitas de herradura con respecto a la Tierra como 54509 YORP, 2002 AA 29 , 2010 SO 16 , etc...
Fig. 13 Dos planetas un Júpiter hipotético a 1 U.A. y la Tierra en órbita de herradura visto desde un sistema giratorio que mantiene a Júpiter fijo. Cómo Júpiter es mucho más masivo que la Tierra apenas se mueve mientras que la Tierra sigue una ruta de herradura (mostrada en amarillo). Cortesía de Sean Raymond (enlace) Un sistema planetario de herradura
Explicación del ciclo orbital de herradura
Supongamos un asteroide que se encuentra en una órbita alrededor del Sol con el mismo periodo que la Tierra y que representado en un sistema coordenado giratorio ligado al Sol y la Tierra tiene una órbita de herradura.
Fig. 14 La Tierra y un asteroide están en resonancia 1:1. En los párrafos siguientes se describe esta órbita.
Es necesario comprender la dinámica órbital. El asteroide está en órbita elíptica alrededor del Sol. El asteroide siempre orbita el Sol en la misma dirección que la Tierra. La órbita de herradura surge debido a que la atracción gravitatoria de la Tierra cambia ligeramente esta órbita. Como hemos visto en Jano y Epimeteo el cuerpo más cercano al Sol completa la órbita más rápidamente que el cuerpo más alejado. Si un cuerpo acelera por la atracción de otro cuerpo su órbita se mueve hacia afuera del Sol. Si por el contrario desacelera, se acerca al Sol. Este cambio es tanto mayor cuanto menor masa tiene el cuerpo. Por tanto la Tierra tiene un ligerísimo movimiento de vaivén hacia L₁ y L₂.
Cuando el asteroide orbita más cerca del Sol que la Tierra va más rápido y la adelanta, por el contrario, cuando va más alejado va más lento que la Tierra y es ésta la que adelanta al asteroide. En un sistema giratorio con la Tierra fija parece alejarse en dirección contraria. Ambas situaciones junto a los momento que el asteroide da el salto de interior a exterior, que han sido ya explicados en Jano y Epimeteo forman el contorno de una herradura de donde recibe el nombre.
Supongamos que la órbita del asteroide comienza en el punto A, cerca de la Tierra y del punto L₅ y por el interior. El asteroide está orbitando más rápido que la Tierra y está en camino de pasar entre la Tierra y el Sol. Pero la gravedad de la Tierra ejerce una fuerza de aceleración hacia el exterior, llevando al satélite a una órbita más alta en que (según la tercera ley de Kepler) disminuye su velocidad angular. Cuando el asteroide llega al punto B, está viajando a la misma velocidad que la Tierra. La gravedad de la Tierra sigue acelerando al asteroide a lo largo de la trayectoria orbital, y continúa llevando al satélite a una órbita más alta hasta el punto C.
Entonces el asteroide alcanza una órbita lo suficientemente alta y lenta como para que comience a rezagarse de la Tierra girando aparentemente en movimiento contrario de C a D en un movimiento que tarda varios años. En D, la gravedad de la Tierra la hace aumentar su velocidad y cae a una órbita más baja, hasta el punto E. Ahora va más rápido que la Tierra y se aleja durante muchos años. Esto continúa hasta el punto E, donde la órbita del satélite ahora es más baja y más rápida que la órbita de la Tierra , y comienza a alejarse de la Tierra hasta el punto A.
Calculemos para el sistema de dos planetas un Júpiter hipotético a 1 U.A. y la Tierra en órbita de herradura tratado por Sean Raymond en Un sistema planetario de herradura.
Al igual que hemos hecho con Jano y Epimeteo el hipotético sistema con Júpiter y la Tierra coorbitales a la distancia de 1 U.A. Júpiter se mueve en un arco de ancho 1º,128 mientras la Tierra da la vuelta casi completa de 358º,87.
El ancho de la órbita de la Tierra es una función simple de la masa del planeta. Al igual que la esfera de Hill, el ancho de la región de la herradura aumenta con la raíz cúbica de la masa del planeta. Júpiter es 318 veces la masa de la Tierra, por lo que su ancho de la órbita de herradura de la Tierra es de aproximadamente (318)^(1/3) aproximadamente 6,8% veces la distancia de la Tierra al Sol, es decir 10,2 millones de Km. Esto es aproximadamente el radio de Hill de Júpiter cuando hipotéticamente está a 1U.A. Así cuando la Tierra va por el interior de la órbita va a una distancia media del Sol de 144,5 millones de km. por lo que tardaría 346,7 días en dar la órbita. Júpiter apenas se mueve va por fuera, pero el ancho es (1/318)^(1/3)=0,146%=219.200 Km. Así su distancia media al Sol es 1,0007U.A.empleando 365,64 días. Así los movimientos medios de la Tierra y Júpiter son respectivamente 1,03834º/día y 0,98457º/día. Así la Tierra se aleja de Júpiter con un movimiento medio de 𝛥n=0,05377º/dia empleando 358º,87/0,05377= 6.674días=18,3 años.
Luego Sean Raymond trata de la habitabilidad de ésta Tierra en el periclo de 18 años por dentro y los 18 años por fuera y dado que nosotros no vamos a seguir por ahí, recomendamos su lectura.
Un caso distinto es cuando los dos planetas en órbita de herradura tienen masas parecidas o iguales. Ahora se reparten el espacio por igual correspondiendo media circunferencia a cada uno.
Fig. 15 Ruta orbital de dos planetas de masa iguales en una configuración de herradura. Este cálculo se ha realizado para planetas de masas 80 Mt. Para los planetas de la masa de la Tierra, la dinámica sería similar, pero las oscilaciones serían mucho menos pronunciados. Cortesía de Oklo.org.
Estabilidad
Hemos aprendido mucho de los cuerpos en resonancia 1:1 o coorbitales. ¿Pero son estables estos cuerpos? Pueden existir Planetas Troyanos, o planetas en órbita de herradura. Como hemos visto, las cosas son distintas si los cuerpos en órbita tadpole o herradura son de masas parecidas o uno mucho mayor que otro. Un parámetro útil es la relación entre las masas de Júpiter y el Sol que es 9,547x10⁻⁴.
- Si se tratase de dos enanas marrones en el límite de serlo m=12 mJ girando alrededor de una estrella como el Sol 𝜇=24x9,547.10⁻⁴=0,0229<0,038 luego todavía estables pero en el límite.
- El problema es la existencia de sistemas más complicados, como si al sistema se añade un tercer planeta. El sistema TOI-178 tiene un tercer planeta interior. Lo que han demostrado Adrien Leleu y otros, con su trabajo, es que desde un punto de vista de la estabilidad ello es posible. Pero no olvidemos que de momento son planetas candidatos Tess.
Fig. 16 Los dominios de estabilidad para los candidatos coorbitales del sistema TOI-178. a) como una función de la masa de los dos planetas coorbitales, fijando m₃ =2,5x10⁻⁵M; y b) como una función de la suma de las masas de los dos planetas coorbitales y el planeta interno m₃. Las líneas punteadas representan la intersección de las condiciones iniciales a) y b). El código de colores es: los puntos negros representar órbitas estable por encima de 10¹º períodos orbitales. Los pixeles grises son los que a largo plazo son inestable, y los pixeles blancos son los términos inestables a corto plazo.
Igual pasa con los planetas coorbitales Kepler-132 b y c o de Kepler-271 b y d que están acompañados por dos o un planetas externos respectivamente, pero no hemos encontrado estudios de estabilidad similares a la fig. 16 para TOI-178.
El menos masivo de los dos planetas coorbitales es, el que tiene una amplitud de libración alrededor del puntos Lagrange de equilibrio más grande.
- Las configuraciones de herradura para ser estables necesitan condiciones más estrictas 𝛍<0,0004. (Garfinkel 1976; Érdi 1977; Niederman et al. 2018).
- En el caso hipotético de Júpiter y la Tierra coorbitales y tratado por Sean Raymond es inestable pero en el límite de la estabilidad. Bastaría cambiar Júpiter por un planeta de masa 0,4 Mj.
Así pues cuando ambas masas son similares a la masa de Saturno aunque más baja, los dos planetas coorbitales pueden estar en una órbita de la herradura estable. Para planetas como dos jupíteres 𝜇=1,91x10⁻³>4x10⁻⁴ y la configuración de herradura es inestable.
Resumen
Cuerpos coorbitales son dos o más que giran en la misma órbita. Es decir están en una resonancia 1:1.
Los asteroides troyanos son coorbitales, ellos oscilan a 60º de Júpiter o del planeta del que son troyanos. El menos masivo de los dos planetas coorbitales es, el que tiene una amplitud de libración alrededor de los puntos Lagrange de equilibrio más grande. Su órbita se llama tadpole.
Hasta la fecha estamos a punto de descubrir planetas troyanos, si no los hemos descubierto ya.
También son coorbitales los satélites de Saturno Jano y Epimeteo que distan en sus órbitas menos que la suma de sus diámetros. Estos últimos constituyen órbitas de herradura si consideramos un sistema giratorio con uno de los satélites y expresamos el movimiento del otro. Los cuerpos con órbitas de herradura son como troyanos cuya amplitud es tan grande que se pueden intercambiar entre los puntos de Lagrange L₄ y L₅.
Los planetas en órbitas de herradura no han sido descubiertos todavía. Atendiendo a su estabilidad por la masa son menos abundantes que los planetas troyanos, pero pueden existir.
Otros asteroides son cuasisatelites es decir un objeto que, orbitando en torno a una estrella, se encuentra en resonancia orbital 1:1 con un determinado planeta. Describen órbitas que son coorbitales con el planeta pero de diferente excentricidad. Debido a esta resonancia, el objeto puede mantener una órbita relativamente estable durante largos periodos de tiempo con el planeta.
Fig. 17 El asteroide Cruithne es un NEO que orbita el Sol a 0,998 U.A. en 364 días y excentricidad e=0,515. Si consideramos un sistema giratorio con la Tierra fija, (3753) Cruithne parece orbitar la Tierra. Fue descubierto en 1986 y su movimiento fue descrito por Paul Wiegert et. al. en 1997. Cruithne tiene 5 km de diámetro, y en su aproximación máxima a la Tierra se acerca a tan sólo 12,5 millones de km. (30 veces la distancia entre la Tierra y la Luna) cosa que ocurrirá en 2289 como ya sucedió en 1902. Tarda 387 años en su ciclo. Luego orbitará a una distancia ligeramente superior a la de la Tierra.
A diferencia de los verdaderos satélites, los cuasisatélites orbitan fuera de la esfera de Hill de su planeta, que es la zona en la que la fuerza gravitatoria que ejerce el planeta domina sobre las fuerzas gravitatorias de su estrella. Como consecuencia de ello, las perturbaciones gravitatorias externas tenderán a alterar la órbita del objeto, pudiendo eventualmente desvincularlo de la resonancia con el planeta. La Tierra tiene 9 cuasisatélites conocidos. Se calcula que todos ellos permanecerán en durante miles de años o incluso más tiempo. Venus tiene un cuasisatélite, 2002 VE68 que también cruza las órbitas de Mercurio y la Tierra. Su estabilidad será mucho menor, ha estado acompañado a Venus durante los últimos 7.000 años, y será expulsado dentro de unos 500 años. No se han encontrado cuasisatélites de los cuatro gigantes del Sistema Solar, lo que no significa no puedan existir.
En el Sistema Solar existen asteroides troyanos, en órbita de herradura y cuaisatélites pero ninguno ni de lejos se acerca al tamaño de un planeta. En los sistemas extrasolares estamos a punto de descubrir este tipo de planetas. La famosa astrofísica dedicada a la búsqueda de exoplanetas Sara Seager del MIT en el prólogo de Exoplanets dice:
So many surprising discoveries have been made that by now we know to expect the unexpected.
Es decir, en exoplanetas, mientras algo no este físicamente prohibido, existe, y tarde o temprano acabaremos por descubrirlo. Los planetas troyanos o en órbitas de herradura no están físicamente prohibidos y el alicantino Jorge Lillo-Box espera encontrarlos si no lo ha hecho ya.
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