La medición de la precesión, nutación y del bamboleo de Chadler en Marte por Mars InSight

¿Por qué de esta entrada?

Acaban de lanzar Mars InSight y el objetivo de la nave es averiguar la estructura de Marte. Para ello usa tres métodos: Saber si Marte es un planeta sísmico el más fundamental de las tres, lo trataremos próximamente, averiguar el flujo de calor interno del planeta que hemos tratado ya, permitirá trazar un perfil de temperaturas y saber el estado del núcleo y el tercer método es averiguar los bomboleos del eje de rotación de Marte. Esto es lo que vamos a tratar en esta entrada. En una entrada anterior hemos tratado respecto a que se puede averiguar de la estructura de un planeta sin un sismómetro lo que nos ha permitido establecer una relación entre el tamaño del núcleo y su densidad. Veremos por Mars InSight cual es la opción real. Al tratarlo hemos tenido que hablar de la dinámica de la rotación y del momento de Inercia I. Ahora retomaremos el tema donde lo dejamos.

Momentos de inercia

El momento de inercia representa en la dinámica de rotación el papel de la masa en la dinámica rectilinea. Refleja la distribución de masa de un cuerpo en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular al someterlo a un par de fuerzas. Hay una relación entre las medidas lineales y las angulares y es que siempre hay que multiplicar las angulares por el radio de giro para obtener las lineales.

Dado que el momento es la fuerza por la distancia al eje de giro y la aceleración angular es la lineal dividido por el radio, el momento de inercia es la masa por el cuadrado de las distancias al eje de giro. Dado que las distancias cambian para cada elemento de masa, habrá que considerar el cuerpo descompuesto en partículas m_i cada una de las cuales dista del eje de giro una distancia r_i de forma que cada partícula contribuye al momento de inercia como m_i r_i² y hacer la suma para todas las partículas del cuerpo lo que se expresa:

  I=∑mi ri²

Como los cuerpos son continuos se trata de una integral lo que escapa de las posibilidades de esta entrada. La Tierra y Marte son aproximadamente esferas y aún con más aproximación un elipsoide de tres ejes que gira sobre su eje menor c mientras su ecuador es una elipse de ejes a y b casi iguales es decir es casi un círculo perfecto de radio a.

Pero hay dos diferencias básicas entre la masa y el momento de inercia:

·         En un movimiento rectilíneo la masa es siempre la misma, mientras que en uno circular el momento de inercia aparte de la distribución de masas depende de la posición del eje de rotación en el cuerpo y de su orientación. El momento de inercia es mínimo si el eje pasa por el centro de gravedad o centro de masas (cdm). Éste es una media ponderada de la posición de las masas y en el caso de un cuerpo homogéneo coincide con el centro geométrico. La Tierra no es homogénea pero por su simetría el cdm coincide con el centro de la Tierra. Habrá que ver la orientación adecuada ya que I depende de la orientación del eje de rotación.

·         En un movimiento rectilíneo la fuerza y la aceleración o el momento lineal y la velocidad son siempre paralelos y por tanto la constante de proporcionalidad, la masa es un escalar siempre. Mientras que el momento angular, en general, no tiene por qué tener la misma dirección que el vector velocidad angular. Sólo lo serán si la Tierra es homogénea y perfectamente esférica. Si el sólido presenta una simetría de revolución y gira entorno al eje de simetría entonces ambos vectores no tienen la misma dirección y el momento de inercia no es un escalar. Tampoco lo es en casos más generales. Cabe hablar de un tensor de inercia o lo que es lo mismo una matriz simétrica. Ello se escapa de las posibilidades de esta entrada. Bastenos decir que es una tabla de números (matriz 3x3 simétrica) es decir 6 números ya que al ser simétrica I₁₂=I_21, I₁₃=I₃₁; I₂₃=I₃₂ donde el primer número indica la fila y el segundo la columna de la tabla.

Ejes principales

El problema que se plantea es si existirán unos ejes que llamaremos principales respecto a los cuales el momento de inercia adquiera una forma más sencilla. Y la respuesta es que sí:

·         Si el cuerpo tiene simetría esférica todos los ejes son principales. Entonces el momento de inercia es un escalar. La tabla (3x3) tiene sólo tres números los de la diagonal principal y son iguales (I₁₁=I₂₂=I₃₃=I). Los otros números llamados productos de inercia son 0. Por ejemplo I₁₂=I₁₃=I₂₃=0.

·         Si el cuerpo tiene simetría de rotación, como casi pasa con la Tierra, un eje principal está en la dirección del eje de giro (I₃) y los otros dos son perpendiculares entre sí y caen sobre el ecuador en cualquier dirección (I₁=I₂). El momento de inercia no es un escalar. Es similar al caso anterior pero de los tres números de la diagonal principal dos son iguales (I₁=I₂) y el tercero distinto (I₃).

Movimiento forzado de la Tierra o Marte

Todos los planetas giran y por la fuerza centrífuga que es mayor en el ecuador hay un abombamiento ecuatorial y por tanto con un achatamiento por los polos. Es decir el planeta no es uniforme. Sobre dicho abombamiento actúa un par de fuerzas del resto de cuerpos (Sol, satélites como la Luna, planetas) y ello provoca un bamboleo del polo en el cielo. El eje no se mueve sobre la superficie de la Tierra sino que toda ella gira como un todo entorno al polo de la órbita. Hemos visto en otra entrada que el achatamiento f se define como

f=(a-c)/a

donde a es el radio ecuatorial y c el polar. Vale para la Tierra 1/298,25 y para Marte 1/192,8.

En el caso de la Tierra actúan la Luna y el Sol y en el caso de Marte sólo el Sol porque los satélites de Marte son muy pequeños.

El movimiento principal que causan sobre la Tierra se llama precesión de los equinoccios y fue descubierto por Hiparco en el año 127 aC. Basándose en observaciones antiguas para él de estrellas vio que el origen de las coordenadas celestes (Punto Aries) donde se cortan el plano orbital de la Tierra y el ecuador de ésta retrograda unos 50” al año dando una vuelta completa en unos 25.800 años. Es decir la longitud de todas las estrellas aumentaba 50” por año. Como consecuencia el eje de la Tierra que está inclinado unos e₀=23º 26’ describía en estos 25.800 años un círculo alrededor del polo orbital cambiando la estrella a la que apunta el polo Norte de la Tierra. La precesión esta causada porque la Luna y en menor medida el Sol tienden a llevar el exceso de masa presente en el ecuador hasta el plano de la eclíptica. La nutación del eje de la Tierra fue descubierta en 1728 por el astrónomo James Bradley, y dado a conocer en el año 1748. Bradley realmente buscaba el paralaje de las estrellas (movimiento de las estrellas causadas por el movimiento real de la Tierra en su órbita, pero las estrellas están tan lejos que para las más cercanas es de sólo 1”). En su camino descubrió la aberración de la luz y la nutación. Hasta 20 años más tarde no se supo que la causa principal de este movimiento extra del eje de la Tierra era la atracción gravitatoria ejercida principalmente por la Luna.

En el caso de la Tierra, la nutación se superpone al movimiento de precesión o giro de ángulo la oblicuidad de la eclíptica del eje de rotación alrededor del polo de la eclíptica, de forma que no sean regulares. 

A dicho cono se superpone la nutación que hace que cada 18,6 años el eje de rotación de la Tierra oscile hasta unos 9” de arco a cada lado del valor medio de la oblicuidad de la eclíptica y hasta unos 7” a cada lado del valor medio de desplazamiento del punto Aries sobre la eclíptica.

Precesión

Llevaremos los resultados de la Tierra y Marte a la par para que se vean las similitudes y las diferencias. La fórmula de la precesión k se da por si alguien se atreve a hacer el cálculo. Pero no lo necesitas por eso no te decimos que es G ni su valor.

La precesión solar vale:

donde M⊗ es la masa solar,  f el achatamiento geométrico, R la distancia del planeta al Sol y w la velocidad de rotación del planeta. Teniendo cuidado con las unidades resulta para la Tierra 17”,6 por año terrestre y para Marte 7”,944 por año terrestre.

Para calcular la precesión que sobre un planeta ejerce su luna hay que sustituir la masa del Sol y la distancia R al Sol por la de su luna. La precesión que la Luna ejerce sobre nuestro planeta es más del doble de la solar. La Luna con una masa notablemente inferior a la solar (26,67 millones de veces) está 400 veces más cerca y como la distancia influye al cubo ello representa 400³ veces mayor es decir 64 millones de veces mayor así que la Luna ejerce una acción 2,4 veces mayor. Vale el 38”,8 por año terrestre. Podría pensarse que al ser los satélites de Marte pequeños sólo hay precesión solar pero no. Los satélites son pequeños pero están muy próximos. Fobos es el más masivo 1,08x10¹⁶Kg. y es el más cercano 9.377 Km. llega a contribuir con 0”,624 por año terrestre y Deimos es menos masivo 2x10¹⁵Kg. y está más lejos 23.460 km. así que apenas contribuye con 0”,007 por año.

Esta contribución k es sobre el ecuador y hay que proyectarla sobre la eclíptica multiplicándola por cos e donde la oblicuidad de la eclíptica vale 23º26’ para la Tierra y 25º11’ para Marte. En el caso de los satélites el factor corrector es cos (e+i) donde i es la inclinación de la órbita de los satélites (para la Luna 5º8’44”, para Fobos y Deimos respecto al plano del ecuador 1º8’ y 1º46’respectivamente.

Hechas estas correcciones resulta para la Tierra una precesión secular:

Y=Y_s+Y_L=16”,15+34”,07=50”,22 por año, que coincide con el valor habitual (obviamos la acción de los planetas).

Para Marte

Y=Y_s+Y_F+Y_D=7”,1888+0”,5595+0”,0066=7”,7549 por año.

Eso da unos periodos de precesión de 25.806 años para la Tierra y 167.120 años para Marte cuando los valores de la literatura son 165.000 años, un error de sólo 1,2%.

Hay que tener presente aunque pequeña la acción sobre todo de Fobos porque sino el periodo de precesión de Marte es de 180.280 años.

Podría pensarse que al ser los satélites de Marte pequeños sólo hay precesión y no nutación. Pero no es así. El Sol también causa nutación y su periodo es, como veremos, de medio año de Marte es decir 343,48 días .

Nutación

Contrariamente a lo que se cree el Sol también causa nutación. Este término es una precesión periódica que depende de la longitud del Sol en su órbita anual. El coeficiente es k/(2n) donde n es el movimiento medio. Como el año de la Tierra dura 365,2422 días y el de Marte 686,97 días terrestres resulta n=0,9856º/día para la Tierra y n=0,5240º/día para Marte. Pero el movimiento del Sol en su órbita también causa una variación de la oblicuidad e. La amplitud es la misma. La acción del Sol en su orbita depende del  doble de la longitud solar por lo que este término tiene una periodicidad de medio año. En el primero, el desplazamiento por la eclíptica interviene sen(2L) y en el segundo cos(2L). Queda proyectarlo sobre las dos direcciones, sobre la eclíptica con el cos e y sobre el polo con el sen e. Así para la Tierra la nutación solar en longitud es 1”,285 sen (2L) y la nutación solar en oblicuidad es 0”,557 cos (2L). La coincidencia con los valores dados en el libro Astronomía esférica y mecánica celeste de Juan J. Orús, M Asunción Catalá  y Jorge Núñez de Murga nos permite tener confianza en el cálculo de la nutación solar de Marte.

Para Marte la nutación solar  en longitud es 1”,076 sen (2L) y la nutación solar en oblicuidad es 0”,506 cos (2L). Los valores muy similares se deben en que para Marte k es 2,246 veces menor y n 1,881 veces menor lo que casi se compensa junto al valor similar de e.

Pero mientras este término es el único presente para Marte pues la nutación causada por sus satélites es despreciable, la Luna ejerce sobre la Tierra la parte del león en la nutación. Hablemos de ésta última.

La Luna sigue una órbita que recorre en 27,3 días de excentricidad 1/20 e inclinada 5º,1454 sobre el plano orbital de la Tierra. Además como consecuencia de la atracción de la Tierra el nodo lunar o intersección de los planos orbitales de la Tierra y de la Luna retrograda en 18,6 años. Para la precesión lunar tendremos pues dos causas. La nutación lunar debida a la retrogradación del nodo lunar de movimiento medio n=360/18,6=19,355 º/año y la nutación lunar debida al movimiento de la Luna en su órbita de valor n₁=360/27,3=13,187º/día.

En la teoría sobre la precesión y nutación solar y lunar se supone que el Sol y la Luna siguen un movimiento uniforme cuyo movimiento medio es 0,9856º/día para el Sol y n₁=13,187º/día para la Luna. Esto es falso para el Sol y radicalmente falso para la Luna. Al igual que para el Sol en la nutación lunar en longitud aparece el término sen (2n₁t) y en la nutación lunar en declinación aparece el término cos (2n₁t). Al poner L₁= n₁t en función de W=longitud del nodo lunar  y z=longitud de la Luna en su órbita, en la nutación lunar en longitud aparecen una suma de términos periódicos (senW, sen2W, sen2z) que constituyen dicha nutación. Análogamente en la nutación lunar en declinación aparecen una suma de términos periódicos (cosW, cos2 W, cos2z) que constituyen dicha nutación.

Tendremos dos amplitudes de valores 𝜅/2n= 57",43 y 𝜅/2n₁=0",2307.

Estas las tenemos que corregir del ángulo e+i =28,58º  que forma la Luna respecto al ecuador. Para la nutación en longitud hay que multiplicar por el cos 28º,58 y para la nutación en declinación por el seno 28º,58. Tenemos la tabla de valores:

Se puede  observar que si dividimos por 3 los valores de k/2n prácticamente coinciden mientras los valores de k/2n₁ son los correctos. Con mucho el primer término de la nutación, el que depende de W es el predominante. Recordemos que la nutación solar en longitud es 1”,285 sen (2L) y la nutación solar en oblicuidad es 0”,557 cos (2L). Esta es la razón por la que se asigna el término secular al Sol y a la Luna y equivocadamente la nutación a la Luna y con periodo el de retrogradación de los nodos lunares. Pues aunque existe la nutación solar su valor es mucho menor. La variación de los polos debida a la nutación en la Tierra es una elipse que tiene de ejes 9”,21 en el sentido hacia el polo eclíptico y 17”,23x sen(23º26’)= -6”,84 en el sentido de la longitud. El signo – significa que retrograda. El movimiento lo describe en 18,6 años. Obviamente esto es una aproximación pues no se tiene en cuenta la nutación solar y los términos dependientes de 2W y 2z para la nutación lunar. Y más grave aún se prescinde del hecho de que W no varía uniformemente ya que en unas épocas su velocidad es doble de la media y en otras es nula, y los nodos son estacionarios. Esto ocurre cuando el Sol está en el Nodo y se anula la componente de la fuerza que causa este desplazamiento.

La nutación hace que cada 18,6 años el eje de rotación de la Tierra oscile hasta unos 9” de arco a cada lado del valor medio de la oblicuidad de la eclíptica y hasta unos 7” a cada lado del valor medio de desplazamiento del punto Aries sobre la eclíptica. Pero los términos superiores debidos a la Luna y la precesión solar hacen que en ese tiempo describa 38 bucles menores de duración algo menor a medio año. Estos pequeños círculos es lo que se espera para la nutación marciana.

Si consideramos la precesión y nutación los 38 bucles se convierten en pequeñas oscilaciones.

Análogamente en Marte, la nutación es una elipse que tiene de ejes 0”,506 en el sentido hacia el polo eclíptico y -1”,076x sen(25º11’)= -0”,46 en el sentido de la longitud. El signo – significa que retrograda. El movimiento lo describe en medio año marciano 343,48 días terrestres.

La nutación causada por los satélites de Marte resulta despreciable. Fobos y Deimos tienen periodos de revolución de 7,66 h y 30,35 h e inclinaciones respecto al plano del ecuador 1º8’ y 1º46’. Ignoramos en cuanto tiempo el nodo de la órbita de los satélites y del planeta da una vuelta así que el movimiento medio del nodo no es para mi calculable. Este término es el predominante en la nutación de la Luna. 
El otro es causado por el movimiento de los satélites en su órbita, pero en ambos 𝜅 es tan pequeño y n tan grande que 𝜅/2n es despreciable. El cálculo para Fobos da para la constante 4”,3x10^-5.

En la precesión y nutación el eje de la Tierra y Marte cambian de dirección junto con toda la Tierra por lo que el punto geográfico con que el eje de la Tierra corta a ésta (polo norte) no cambia y tampoco lo hacen las coordenadas geográficas de cualquier lugar. La precesión mantiene fijo la oblicuidad de la eclíptica o ángulo que forma con el polo eclíptico. Los Trópicos de Cáncer y Capricornio a latitudes ±e y los círculos polares Ártico y Antártico a latitudes ±(90-e) no cambian de lugar. Sin embargo con la nutación y aunque no cambie la latitud de un lugar si cambia la latitud de dichos círculos porque cambia e.

La precesión y nutación de Marte en el periodo de dos años terrestres (algo más de un año en Marte). Este es el periodo inicial de toma de datos de la nave InSight. El origen de datos está a la derecha en el eje y.  Coincide  con el inicio de la Primavera en el hemisferio norte. Los números sobre la curva son los días tras el inicio de la Primavera. Con un círculo rojo se indica el comienzo del invierno el el 16 de octubre de 2018. La nave llegará a Marte el 26 de noviembre de 2018 en pleno invierno.

La precesión y nutación no dependen directamente de la estructura del planeta porque dependen de la distancia y masa del cuerpo que la provoca: el Sol y la Luna en el caso de la Tierra y el Sol y los satélites Fobos y Deimos en el caso de Marte. Pero dependen de forma indirecta pues depende del achatamiento geométrico del planeta f que es causado por la rapidez de giro y la estructura de éste J. (ver entrada: ¿Qué se puede averiguar de la estructura sin un sismómetro? )

Movimiento libre de la Tierra y Marte

Leonhard Euler fue el matemático, físico y astrónomo más grande del siglo XVIII o siglo de las luces y uno de los más prolíficos de todos los tiempos. Las ecuaciones de Euler determinan como gira la Tierra, Marte o cualquier planeta. Sólo si el planeta es una esfera uniforme con I₁=I₂=I₃=I las ecuaciones de Euler se reducen a Iw_i=M_i y si no hay ningún momento que actúe resulta w=cte. Pero aún así si como la Tierra o Marte I₁=I₂ e I₃  es distinto, aunque no actúe ningún par, las ecuaciones de Euler tienen una solución que consiste en un giro del eje de rotación de la Tierra alrededor del momento angular (o de la tercera componente de la velocidad angular w₃). Este movimiento fue detectado para la Tierra por Seth Carlo Chandler en 1891. Supone una variación de 0,7 segundos de arco en un período de 433 días. El eje de la Tierra se mueve con un movimiento circular irregular cuyo diámetro cambia entre 3 y 15 m y se debe fundamentalmente a que la estructura interior del planeta es no uniforme. La amplitud del bamboleo ha variado desde su descubrimiento, alcanzando su máximo valor en 1910. Hace variar ligeramente las longitudes y latitudes de todos los puntos del planeta.

Es decir la Tierra por no ser una esfera perfecta aun sin un momento exterior su eje de giro precesiona alrededor de la dirección del momento cinético causando una variación de la latitud de los lugares  geográficos. El eje de giro de la Tierra no tiene pues la dirección del eje z sino que dicho eje z coincide con la dirección del momento cinético.

Recordemos los momentos de inercia y los achatamientos de dinámico (e) y geométrico (f) y tal como hemos dicho en la entrada.

Los polos de la Tierra se mueven en una circunferencia irregular de 3 a 20 metros de diámetro, en un movimiento oscilatorio de una amplitud de 0,7” de arco. La amplitud del bamboleo ha variado desde su descubrimiento. Como los distintos componentes del movimiento no son conmensurables la trayectoria que se denomina polodia es irregular. El movimiento observado tiene una componente anual forzada causada por fluctuaciones climáticas causantes de cambios en la distribución de la masa atmosférica. También un irregular desplazamiento hacia el meridiano 80W debido a que en la Tierra el ecuador no es perfectamente circular.

Si asumimos para la Tierra que gira en 23h 56m 4s una velocidad angular de w=7,292x10^-5 rad/seg y que dada la escasa amplitud del movimiento w₃~w así resulta una velocidad angular W predicha por las ecuaciones de Euler del bamboleo de W=ew₃=2,381x10-7 rad/seg de lo que resulta un periodo de rotación euleriano de T=2p/W=2,639x10⁷ seg=305,44 días. Donde de e de la ecuación es el achatamiento dinámico.

Simon Newcomb a finales del siglo XIX explicó el alargamiento del periodo de 305 a 420 días por la rigidez de la Tierra, ello causa que los productos de inercia no son nulos (el tensor de inercia no es diagonal). En el cálculo utilizó los módulos de elasticidad (de Young y de Poisson) obtenidos mediante el estudio de la propagación de las ondas sísmicas. Además existe un movimiento periódico de periodo un año y semiamplitud una décima de segundo de arco debido a causas meteorológicas. En julio del año 2000 el Laboratorio de Propulsión a Chorro de California anunció que la causa principal del bamboleo no explicado de Chandler es la presión fluctuante del fondo oceánico, originada por los cambios en la temperatura y la salinidad, y por los cambios en la dirección de las corrientes oceánicas. Sin embargo la amplitud del movimiento no puede calcularse, sólo cabe medirlo de ahí la importancia del IERS. 

El International Earth Rotation Service mide con sus observatorios la posición instantánea del polo de la Tierra en milisegundos de arco y mide y calcula los distintos tiempos, fluctuaciones de la atmósfera o las corrientes oceánicas. También tiene un Glosario de  términos y las FAQS. Para la gente curiosa resulta imprescindible visitar esta página. En el momento de escribir esta entrada el bamboleo separa al polo 0”,3019 x10⁻³ del polo verdadero considerada precesión y nutación:
EOP of today
- Taken from Bulletin A -
Date: 2018-06-01
MJD: 58270
x pole [marcsec] : 108.7
y pole [marcsec] : 437.4
UT1-UTC [msec] : 81.06
 También pueden verse las fluctuaciones del polo en tiempos pasados:

También puede verse en 3D donde el tercer eje es el tiempo.

Si asumimos para Marte que gira en 24h 37m 23s una velocidad angular de w=7,088292x10^-5 rad/seg y que dada la escasa amplitud del movimiento w₃~w así resulta una velocidad angular W predicha por las ecuaciones de Euler del bamboleo de W=ew₃=3,84645x10-7 rad/seg de lo que resulta un periodo de rotación euleriano de T=2p/W=1,628x10⁷ seg=188,2 días.

Mars InSight pretende medir su posición con una precisión de 10 cm. De ahí averiguaremos la posición del polo de instantáneo de Marte. Lo más parecido a un IERS marciano. Si esto supone medir la posición del polo con un ángulo desde el centro del planeta de 0”,007 ello representará una precisión 100 veces mayor que el movimiento de Chadler de la Tierra. Marte es mucho más homogéneo que la Tierra y se espera que la amplitud de dicho movimiento sea menor. Cuantas veces  menor  se ignora. Al igual que el alargamiento del periodo para la Tierra de 305 a 420 días da idea de la rigidez de la Tierra, se podrán calcular los productos de inercia que seguro no serán nulos (la matriz de inercia no será diagonal). La propagación de las ondas sísmicas del SEIS ayudará a medir los módulos de elasticidad. En la Tierra la atmósfera afecta al bamboleo también introduciendo un movimiento de semiamplitud una décima de segundo de arco y periodo de un año. La atmósfera de Marte es mucho más tenue 6mb frente a 1013mb pero hay un fenómeno atmosférico semianual que en principio parece cuantificable que puede que tenga más influencia en Marte a pesar de la delgadez de su atmósfera. Al llegar la estación fría aproximadamente un 20% de la atmósfera compuesta de CO₂ se solidifica en los casquetes polares. Con esta presión y la superficie de Marte resulta que la masa de la atmósfera es 2,4 x 10¹⁶ Kgr. El 20% supone una masa de 4,8x10¹⁵ Kg y depositado en un casquete polar. Suponiendo un radio medio de dicho casquete de unos 800 Km ello supone un momento angular extra de 3x10²⁷ kg m². Ello supone una milmillonésima parte del momento angular pero sólo la diezmillonésima parte de la diferencia de los momentos angulares entre el ecuador y el polo. Además no hay océanos en Marte lo que causa en la Tierra la mayor parte del bamboleo Chadler no explicado. Quizá si todo va bien el entender el bamboleo Chadler marciano más sencillo ayude a explicar el terrestre. No obstante el ecuador marciano es más irregular que el terrestre debido al bulbo de Tharsis donde se ubica el Monte Olimpia a una longitud de 120ºW. Quizá sea un equivalente marciano mucho más importante que el desplazamiento irregular hacia el meridiano 80W en la Tierra.
Pero hay un detalle que no debemos pasar por alto RISE (Rotation and Interior Structure Experiment), permite fijar en el espacio la posición de InSight con respecto a la Tierra. De cómo varíe dicha posición con la rotación del planeta se espera obtener la posición instantánea del eje. Para llegar al bamboleo de Chadler habrá que descontar la nutación y la precesión del eje. Por eso hemos tratado estos temas en este artículo. Junto con SEIS (Seismic Experiment for Interior Structure) y HP3 (Heat Flow and Physical Properties Package) darán coordinadamente la mayor información del hasta ahora desconocido interior de Marte.

¿Qué se puede averiguar de la estructura de un planeta sin un sismómetro?

Conocer la densidad media

Empecemos con los cuerpos de los que menos información tenemos es decir de los exoplanetas.

Hay dos técnicas fundamentales la velocidad radial y el método del tránsito que cubren el 96% de los descubrimientos. El primero mide el desplazamiento Doppler causado por la velocidad radial producido por el planeta sobre la estrella, conocida habitualmente por método de la velocidad radial. Este método aplicado desde observatorios en la Tierra permite averiguar sólo una masa mínima del planeta pues la cantidad que se averigua es el producto m sen (i) donde i es la inclinación de la órbita del planeta respecto al polo celeste. Un ángulo cercano a 90º hace que el planeta esté aproximadamente en la linea de visión Tierra-estrella y que el planeta transite. Mientras que la función sen (i) toma un valor entre 0 y 1 de ahí que se conozca sólo la cota inferior de la masa. Esto permite averiguar poco de la estructura pero permite afirmar que si m sen(i) es menor de 4 masas de la Tierra (en adelante Mt) es bastante probable que sea terrestre con una superficie sólida o líquida y en caso contrario lo más probable es que sea un gigante de gas. Hemos adoptado un valor medio del seno de 0,70 si admitimos un valor medio de la inclinación de 45º. Bien hecho el valor medio del seno entre 0º y 90º vale 2/𝜋 es decir 0,63. Esto es aplicable a una población de planetas y nunca a uno aislado. Porque nada impide que sea poco masivo y muy grande o muy masivo pero pequeño. Es decir claramente hay una ambigüedad si sólo detectamos el planeta por velocidad radial.

El método del tránsito detecta la fluctuación de la luz de la estrella cuando el planeta pasa por delante de ésta y la transita. Permite conocer el radio del planeta y la inclinación de la órbita i. Tenemos un problema similar pero se admite que valores del radio inferiores a 1,5 Rt son terrestres y valores mayores que 4 Rt son gigantes de gas mientras en la población intermedia la probabilidad p de ser terrestre cambia entre 1 y 0 y la de ser gigante de gas es la contraria 1-p. El método del tránsito es el usado por las naves Kepler y Tess y también desde telescopios terrestres.

Conocer un exoplaneta por los dos métodos permite conocer a la vez masa y radio y por tanto su densidad media que es un factor clave para averiguar la estructura de un planeta. Pero sólo se conocen ambos datos para aproximadamente un 6% de los exoplanetas descubiertos. La razón es sencilla. La mayor parte de los exoplanetas por tránsito los ha descubierto Kepler y muchos de ellos están tan lejos que la técnica de la velocidad radial no es aplicable. Por otra parte la probabilidad de que un planeta transite disminuye con la distancia media a del planeta a su estrella. Así que hay muchos planetas como Proxima b no transitan y sólo sabemos su masa mínima.

Diagrama radio-masa

Hemos dicho que si descubrimos el exoplaneta por ambos métodos conocemos su masa y radio y por tanto su densidad. Esto permite dibujar cada planeta como un punto en un diagrama radio-masa y trazar isolineas de igual densidad o para una composición dada del planeta, lo que es más difícil, pues requiere conocer el comportamiento del material a las elevadas presiones que hay en el interior de un planeta.

Las isolíneas de densidad unen puntos radio, masa de cuerpos con la misma densidad. Son muy fáciles de dibujar. Basta con tener presente que la masa es proporcional al cubo del radio siendo la constante de proporcionalidad la densidad. Si expresamos la densidad tomando como unidad la densidad de la Tierra 𝜚t=5,51gr/cm³ y el radio en radios de la Tierra, la masa aparece en masas terrestres. Se usa la expresión inversa porque en el diagrama el eje y lo ocupa el radio.

No se pueden estudiar en un mismo diagrama todo los tipos de exoplanetas y hemos elegido un diagrama donde tienen cabida los cuerpos hasta una masa de 70 Mt sabiendo que a partir de 50 Mt son jupíteres pequeños. Si hubiésemos escogido la distribución de los jupíteres hubiésemos visto una clara separación pues hay un agujero que va desde las 4,56 Mj y las 7,24 Mj entre los cuales no hay casi ningún exoplaneta. La mayoría de los jupíteres de más masa (excepto uno) tienen densidades mayores. Los de menos masa entre los que están Júpiter y Saturno en nuestro Sistema Solar alcanzan algunos la densidad de 0,1 gr/cc impensables en cuerpos tipo neptuno ligero. Las tierras con densidades de 10gr/cc y las supertierras con densidades medias mayores que unos 15 gr/cc deben ser errores de medición. A medida que una tierra o supertierra se hace más grande la compresión aumenta y la densidad crece. Pero al contrario de las estrellas no hay ningún mecanismo que comprima la materia hasta límites como la estrella de neutrones. Hay quien opina que las megatierras no existen. Es decir no hay cuerpos de más de 10 Mt con superficie sólida o líquida.

Entre los planetas con masa menor de 50 masas de la Tierra, a grandes rasgos se distinguen dos grandes grupos: los que tienen un radio inferior a 2 veces de la Tierra que tienen más probabilidad de tener una superficie sólida o planetas terrestres y los que tienen un radio mayor que 2 veces el de la Tierra que tienen más probabilidad de ser planetas gigantes sin superficie sólida. Con menos de 2 masas terrestres tenemos las tierras y las tierras densas que serán excepto los supermercurios, errores de medición. Puede haber neptunos ligeros de cualquier masa siempre que su radio supere una determinada cantidad. Debe superar los 6 radios para una masa de 17 y los 8 para una masa de 40 masas de la Tierra. De entre 10 y 50 masas tenemos megatierras, neptunos y neptunos ligeros. Aquí los planetas se han dibujado sin las barras de error.

Las mediciones de masa y radio de los exoplanetas contienen errores que se suman al determinar la densidad media. El rango de densidades de algunos planetas no permite discernir claramente su naturaleza y el valor central de la densidad indica poco. Conociendo pues masa y radio del exoplaneta excepto si los valores son buenos es a veces difícil decir ni siquiera su auténtica naturaleza. De todas formas mientras que en el Sistema Solar existen sólo tierras y gigante de gas como Júpiter, hemos podido apreciar que en exoplanetas hay tierras, supertierras, megatierras, neptunos ligeros, neptunos, jupíteres de dos poblaciones y enanas marrones y aunque se probase que algún tipo no existe, la variedad en exoplanetas es mucho más ancha que en el Sistema Solar.

En el Sistema Solar las masas y radios están bien determinados por lo que los errores en las densidades son pequeñas y su naturaleza queda claramente definida ¿Cómo se puede avanzar un poco más?

Diagrama radio-masa de supertierras y neptunos ligeros con distintas composiciones. La masa y tamaño de 55 Cnc e concuerdan con un planeta de carbono (Madhusudhan et al.).

El campo gravitatorio de un planeta

Un planeta crea a su alrededor un campo de fuerzas donde en cada punto del espacio existe una aceleración de la gravedad g que representa la fuerza con que el planeta atrae a la unidad de masa. En el campo gravitatorio no caben las trampas y llevar un cuerpo entre dos puntos situados a distinta altura cuestan siempre el mismo trabajo se haga por el camino que se haga: elevando el cuerpo verticalmente o con un plano inclinado. Se dice que el campo gravitatorio es conservativo  lo que significa que podemos sustituir el campo gravitatorio vectorial por un campo escalar V (en cada punto en vez de un vector, 3 números, hay sólo un número) llamado potencial gravitatorio (similar al campo de la presión atmosférica de los mapas del tiempo) y donde la variación del potencial por unidad de longitud es la aceleración de la gravedad g (o el viento en el símil meteorológico). Si el planeta está concentrado en un punto el problema es sencillo y quizá recuerdes de Bachiller que el potencial de cada punto P es inversamente proporcional a la distancia entre P el punto donde se concentra la masa. La constante de proporcionalidad depende de la masa M del planeta. 

Pero si el cuerpo es extenso cada elemento del cuerpo interviene en el potencial y hay que extender la suma a todos ellos (lo que queda fuera de esta entrada) resultando una suma de infinitos términos cada uno de menor importancia.

Explicaremos que ocurre a esos términos según la geometría del cuerpo que causa el potencial:

• Si el cuerpo tiene simetría esférica los términos de orden superior se anulan y la expresión del potencial es la expresión elemental como si la materia se concentrase en un punto.

• Si el cuerpo es simétrico respecto al eje de rotación z como ocurre aproximadamente para la Tierra, el potencial no depende de la longitud como parece lógico por su simetría. El potencial es inversamente proporcional a r pero hay unos términos correctivos  que dependen de a (radio ecuatorial) y de unos  polinomios de Legendre, Pn (sen D), que son función del ángulo D entre el punto P y el plano del ecuador. Cada uno con un coeficiente Jn denominados armónicos. Así J₂ es el segundo armónico que para el caso de la Tierra vale J₂=1,082x10⁻³. El coeficiente J₂ mide el achatamiento polar. Generalmente es el más sencillo de encontrar. Quedados en segundo orden el potencial es simétrico respecto al ecuador.

Si hubiéramos seguido el desarrollo hubiéramos encontrado a J₃ que al no ser nulo hace que el plano del ecuador no sea de simetría por lo que la Tierra tiene forma de pera. Precisamente la nave Juno que orbita Júpiter está intentando calcular estos parámetros. Las naves que han orbitado Marte ya la han hecho y resulta que Marte presenta elipticidad en el ecuador como es el caso de la Luna y algunos exoplanetas que están cercanos al límite de Roche de su estrella y por tanto tienen su rotación parada. Su forma es similar a un elipsoide de tres ejes con el eje mayor ecuatorial apuntando a la estrella el segundo eje ecuatorial perpendicular a él y el tercer eje de giro con una rápida rotación pues ésta es igual a la traslación y apenas dura unas horas o un día a lo sumo. Ahora V es función de r, de la latitud y de la longitud planetaria. Ahora además de los J_n aparecen otros coeficientes C_nm y S_nm que multiplican a unos polinomios de Legendre más complejos llamados asociados.  El objetivo es que comprendas que las cosas no son sencillas. 

Si podemos encontrar estos coeficientes de las propiedades de las órbitas de sus lunas o de una nave espacial, entonces la situación puede, en principio, ser invertida con el fin de encontrar la distribución de masa dentro del planeta necesario para producir estos coeficientes. Los datos de la Mariner IX (la primera nave en órbita de Marte) mostraron que el campo gravitatorio de Marte es considerablemente más irregular que el de la Tierra y la Luna. Los términos de orden superior y las términos dependientes de la longitud, son debidos a las desviaciones respecto al achatamiento causado por la rotación y las fuerzas de marea. Se trata de la  anomalía gravimétrica más importante que se ubica en la región de Tharsis que afectan a la distribución de masa en el planeta.  Dan una medida de hasta que punto las fuerzas distintas de  la gravedad y rotación influyen en el campo gravitatorio, como por ejemplo las corrientes emergentes del manto etc. Los coeficientes del desarrollo  armónico mejor determinados para Marte son J₂=(1,96±0,01)x10⁻³ , C₂₂=-(5,1±0,2)x10⁻⁵ y S₂₂=(3,4±0,2)x10⁻⁵. Su determinación  está limitada a la Tierra, Luna, Venus, Marte, y los asteroides Eros, Vesta Itokawa y Ceres y el cometa Churyumov-Gerasimenko donde el hombre ha puesto en su órbita navíos espaciales.

La rotación de los planetas

¿Cómo podemos saber algo más, si no hemos observado con detenimiento el campo gravitatorio? Afortunadamente los planetas giran en torno a un eje. Una de las características comunes de todos los cuerpos celestes es su rotación alrededor de un eje con un movimiento relativamente uniforme. Esta rotación provoca un achatamiento del planeta por el polo y un abombamiento ecuatorial debido a la fuerza centrífuga. Pero dos planetas con el mismo giro y dependiendo de su estructura interna pueden presentar achatamientos distintos según su composición interna. De los conceptos implicados en los cuerpos en rotación se hablará en esta entrada.

La física de la rotación

No estará de más que recordemos algunas cuestiones de física elemental del movimiento circular. Para entenderlo más fácilmente es típico establecer una analogía entre el movimiento rectilíneo y circular. El espacio recorrido en el movimiento rectilíneo es similar al ángulo girado en el circular y la velocidad lineal a la velocidad angular w que en el caso de la Tierra es de unos 15º/hora en unidades prácticas aunque su unidad natural es el radián/seg. Hay una relación entre las medidas lineales y las angulares y es que siempre hay que multiplicar las angulares por el radio de giro para obtener las lineales.
La ley de la inercia del movimiento rectilíneo significa que si no se ejerce ninguna fuerza sobre un cuerpo éste continuará en movimiento uniforme siempre y se traduce en el movimiento circular en que sobre un cuerpo que gira si no actúa ningún par de fuerzas este seguirá siempre con su movimiento circular uniforme. El par de fuerzas se provoca haciendo una fuerza F a una distancia r del eje de giro.
La segunda ley de Newton: en el movimiento rectilíneo establece que una fuerza continúa y constante provoca en el cuerpo una aceleración que es directamente proporcional a la fuerza. A la constante de proporcionalidad se le llama masa inercial m. Si es un planeta el que establece la fuerza (peso) se provoca una aceleración de la gravedad g. A la constante de proporcionalidad se le llama masa gravitatoria y ambas masas son iguales y es lo que se denomina masa del cuerpo. En el movimiento circular, es el par de fuerzas M, el que provoca un movimiento circular uniformemente acelerado con aceleración angular 𝛼 . A la constante de proporcionalidad se le llama Momento de Inercia I y al igual que la masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación, el momento de inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. El momento de inercia del cuerpo depende del eje en torno al cual gire.
En un sistema aislado la conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal que es el producto de la masa por la velocidad (p=mv) tiene por equivalente la conservación del momento angular (c=Iw) del movimiento circular. Es por esto que al igual que un patinador consigue aumentar su velocidad de giro cuando repliega sus brazos y disminuye su momento de inercia, una estrella cuando sufre su colapso gravitacional y disminuye su tamaño aumenta su velocidad de giro.
La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es 1/2mv², mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es 1/2I ω², donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

Momentos de inercia

En principio asumiremos que el momento de inercia (I) es un número. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular al someterlo a un par de fuerzas. Dado que el momento es la fuerza por la distancia al eje de giro y la aceleración angular es la lineal dividido por el radio, el momento de inercia es la masa por el cuadrado de las distancias al eje de giro. Dado que las distancias cambian para cada elemento de masa, habrá que considerar el cuerpo descompuesto en partículas mi cada una de las cuales dista del eje de giro una distancia ri de forma que cada partícula contribuye al momento de inercia como mi ri² y hacer la suma para todas las partículas del cuerpo lo que se expresa:

  I=∑mi ri². 

Como los cuerpos son continuos se trata de una integral lo que escapa de las posibilidades de esta entrada. Daremos pues algunos resultados del momento de inercia. La Tierra es aproximadamente una esfera y aun con más aproximación un elipsoide de tres ejes que gira sobre su eje menor c mientras su ecuador es una elipse de ejes a y b casi iguales es decir es casi un circulo de radio a. El momento de inercia de una esfera de radio R respecto a un eje que pase por su centro vale I=2/5mR² y el de un elipsoide girando alrededor de su eje menor c es I=1/5 m(b²+a²); Si a=b→ I=2/5ma².
Pero hay dos diferencias básicas entre la masa y el momento de inercia:

En un movimiento rectilíneo la masa es siempre la misma, mientras que en uno circular el momento de inercia aparte de la distribución de masas depende de la posición del eje de rotación en el cuerpo y de su orientación. El momento de inercia es mínimo si el eje pasa por el centro de gravedad o centro de masas (cdm). Éste es una media ponderada de la posición de las masas y en el caso de un cuerpo homogéneo coincide con el centro geométrico. La Tierra no es homogénea pero por su simetría el cdm coincide con el eje de la Tierra. Habrá que ver la orientación adecuada ya que I depende de la orientación del eje de rotación.

En un movimiento rectilíneo la fuerza y la aceleración o el momento lineal y la velocidad son siempre paralelos y por tanto la constante de proporcionalidad, la masa, es un escalar siempre. Mientras que el momento angular, en general, no tiene por qué tener la misma dirección que el vector velocidad angular. Sólo lo serán si la Tierra es homogénea y perfectamente esférica. Si el sólido presenta una simetría de revolución y gira entorno al eje de simetría, o en casos todavía más generales, entonces ambos vectores no tienen la misma dirección y el momento de inercia no es un escalar. Cabe hablar de un tensor de inercia o lo que es lo mismo una matriz simétrica. Ello se escapa de las posibilidades de esta entrada. Es una tabla de números (matriz 3x3 simétrica) es decir 6 números ya que al ser simétrica I₁₂=I₂₁, I₁₃=I₃₁; I₂₃=I₃₂, donde en los subíndices el primer número indica la fila y el segundo la columna que ocupan en la tabla.

• Si el cuerpo tiene simetría esférica todos los ejes son principales. Entonces el momento de inercia es un escalar. La tabla (3x3) tiene sólo tres números los de la diagonal principal y son iguales (I₁₁=I₂₂=I₃₃=I). 
• Si el cuerpo tiene simetría de rotación, como casi pasa con la Tierra y Marte, un eje principal está en la dirección del eje de giro (I₃) y los otros dos son perpendiculares entre sí y caen sobre el ecuador en cualquier dirección (I₁=I₂). El momento de inercia no es un escalar. Es similar al caso anterior pero de los tres números de la diagonal principal dos son iguales (I₁=I₂) y el tercero distinto (I₃).

Ejes principales

El problema que se plantea es, si existirán unos ejes que llamaremos principales respecto de los cuales el momento de inercia adquiera una forma más sencilla. Todos los números fuera de la diagonal llamados productos de inercia son 0, por ejemplo I₁₂=I₁₃=I₂₃=0 y sólo son distintos de 0 los elementos de la diagonal (I₁₁=I₁ ; I₂₂=I₂ ; I₃₃=I₃) lo que se llama matriz diagonal . 

Y la respuesta es que sí: 

Volveremos a este punto en otra entrada (la que trate de los movimientos del eje de giro del planeta: Precesión, Nutación y bamboleo de Chadler).

El achatamiento f de un planeta

Una consecuencia del giro de los planetas y satélites es su abombamiento ecuatorial o achatamiento del disco (f) que hace que el radio polar sea inferior al ecuatorial. La primera prueba la obtuvo en 1672 Jean Richer en su expedición a Cayena en el Ecuador. Pretendían mediante observaciones simultáneas de Marte desde París (Cassini) y desde Cayena (Richer) averiguar la distancia a Marte usando de base la distancia entre las dos localizaciones. Pero Richer tuvo problemas al determinar la hora con su reloj de péndulo pues al ser la aceleración de la gravedad g menor el periodo del péndulo era mayor y éste atrasaba sistemáticamente. Newton atribuyó acertadamente esta disminución de g al abombamiento ecuatorial producido por la fuerza centrífuga causada por su rotación.

La Tierra y Marte como una aproximación sencilla pueden asemejarse a un elipsoide de revolución, donde su eje menor c, el polar es en torno al cual giran y perpendicular a él está el ecuador que es una circunferencia perfecta de radio a. El achatamiento f se define:

f=(a-c)/a  y suele expresarse como un inverso.

Las respectivas medidas son:

La rapidez de giro o parámetro q

Los planetas tienen un periodo de rotación que son 23h 56m 4s en el caso de la Tierra y de 24h 37m 23s. Ello determina unas velocidades angulares de giro de 15,04º/h=0,2625 rad/h para la Tierra y 14,62º/h=0,2552 rad/h para Marte, donde se ha tenido en cuenta que 180º=𝞹 radianes.

El parámetro q es otra medida de la velocidad de giro. Se puede definir q como el cociente entre la aceleración centrifuga y la atracción en el ecuador, así q=1 representaría a un planeta girando de tal manera que la fuerza centrífuga en el ecuador compensaría su atracción gravitatoria. Así que si a es el radio ecuatorial resulta que q es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad angular w y al cubo del radio a e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Para la Tierra resulta q=0,003459 y para Marte q=0,004585.

La estructura del planeta: El parámetro J

La estructura del planeta viene especificada por los parámetros J_n, C_nm y S_nm en que se desarrolla el potencial gravitatorio de un planeta. Recordemos que si el cuerpo tiene simetría de revolución nos quedamos con J_n. En primer orden nos quedaremos sólo con J₂ que vale J₂=1,082x10^-3 para la Tierra y  J₂=1,96x10^-3 para Marte. El coeficiente J es 3/2 J₂. Puede demostrarse que:

J₂=(I₃-I₁)/Ma²

Relación entre el achatamiento f y el parámetro q

Hay una relación entre los parámetros f y q. Pero parece lógico que dicho achatamiento sea mayor cuando mayor es la velocidad angular del planeta o satélite o mayor es el parámetro q. Aunque también parece lógica una dependencia de la estructura del planeta es decir para un mismo valor de q no tienen porque en dos planetas distintos tener el mismo achatamiento. Se puede demostrar que

f=q/2+J

Podemos considerar dos modelos extremos de estructura planetaria: 

• El Esferoide Roche (1873) tiene un núcleo central infinitesimal en volumen pero con toda la masa y está rodeado de una atmósfera de volumen finito y masa infinitesimal, en este caso J=0 pues I₁=I₃ por lo que f=q/2. 
• El Esferoide Mac-Laurin supone que el planeta tiene densidad constante es incompresible y con eje de simetría polar. Sus propiedades han sido estudiadas por eminentes físicos. Se puede demostrar que en primer orden en f resulta J=3/5f por lo que resulta que f=5/4q así que f es inversamente proporcional al cuadrado del periodo de rotación del planeta.

Para cuerpos reales el Coeficiente de Clairaut f/q está entre los valores 0,5 y 1,25. En el Sistema Solar de los cuatro planetas terrestres Mercurio, Venus y la Luna giran demasiado despacio para presentar achatamiento. Los máximos achatamientos los presentan los planetas gigantes que encima giran rápido pues tienen mucha masa.

Para Marte y la Tierra los coeficientes de Clairaut valen 1,1304 y 0,9712 lo que significa que la Tierra es mucho más diferenciada que Marte.

 El gráfico refleja en un diagrama doblemente logarítmico la ubicación de los planetas Tierra (T) Marte (M) Neptuno (N) Urano (U) Júpiter (J) y Saturno (S) en un diagrama achatamiento planetario (f) contra rapidez de giro (q). Todos los planetas se hallan entre el límite de Roche (línea roja inferior) y el límite Mac-Laurin (línea roja superior).

El parámetro k2

El parámetro k₂ se define como la relación entre el momento de inercia alrededor del eje z y el valor de Ma² donde a es el radio ecuatorial y M la masa del planeta. El momento de inercia es I₃=k₂.M.a² donde k₂ depende de la estructura de cada planeta. Varía muy poco desde 0,188 para Saturno hasta 0,3731 para Marte. Para la Tierra vale k₂=0,334. Un valor de 2/5=0,4 equivale a un cuerpo homogéneo (modelo Mac-Laurin) y 0 (modelo Roche) a un cuerpo con toda su masa concentrada en un punto. El coeficiente k₂ es una magnitud sin dimensiones que mide igual que el coeficiente de Clairaut el grado de concentración de la estructura planetaria. Sin embargo parece que el coeficiente de Clairaut esta más relacionado con la geometría (achatamiento geométrico) mientras k₂ esta más relacionado con la dinámica. Así entre ambos no se puede establecer una correspondencia.

Hemos visto la definición de achatamiento geométrico f, se puede definir el achatamiento dinámico como 

𝝴 =(I₃-I₁)/I₃

Ambos achatamientos no tienen porque coincidir aunque son muy parecidos en todos los planetas excepto Saturno. Para la Tierra veremos que 𝝴 = 1/308,6 y para Marte 𝝴 = 1/184,4. Si coincidieran (𝝴 =f) y asumimos la identidad de ambos achatamientos entonces J₂=fk₂ y de ahí el raro subíndice de k_2.

Cálculo de los momentos de inercia

De las fórmulas dadas se puede calcular I₃ ya que depende de la masa del planeta M el radio ecuatorial a y el coeficiente k_2. De los valores de J₂ se puede calcular J y de ahí la diferencia I₃-I₁ y por tanto I₁ y el achatamiento dinámico 𝜀.

Cálculo de K₂ para una estructura dada

Ahora nos faltaría calcular k₂ para una estructura planetaria diferenciada dada que supondremos esférica. Las densidades están en gr/cm³ y los radios en unidades del planeta.

Modelo Tierra: El núcleo interno: r = 0,19, 𝜌= 12,8; el núcleo exterior: r = 0,55, 𝜌= 11,2; el manto interior: r = 0,895, 𝜌 = 4,9; el manto superior: 𝜌= 3,6.

Calcular k₂ cuando te dan la estructura con sus radios y densidades es muy fácil. Ellos ya se habrán preocupado de que la densidad media del cuerpo sea la adecuada. Calcular la masa del planeta en estas unidades es fácil. Para calcular el momento de inercia el método más sencillo consiste en considerar desde fuera hacia adentro esferas completas de densidad la de la capa más externa y aplicando la contribución de la esfera al momento de inercia como

I(capa)_i=2/5m _i r _i ²=8/15pr _i r _i ⁵

Para calcular la contribución de la segunda capa de densidad r₂ la contamos como una esfera completa  de densidad r₂-r₁ pues al considerar la capa exterior ya la hemos añadido con densidad r₁ y estamos añadiendo lo no considerado etc. Luego tendremos que sumar los momentos de inercia de las distintas capas. Aunque sea más complicado es útil seguir este mismo esquema para calcular la masa.

 I(capa)_i+1=2/5m _i+1 r  _i+1 ²=8/15p(r _i+1 - r _i )r _i+1 ⁵

El cálculo se puede disponer en una sencilla hoja de cálculo.

El modelo de Marte

Marte ha sufrido tras su acreción dos periodos distintos de diferenciación. En el primero, el más importante, la temperatura interior creció suficiente por la desintegración de elementos radioactivos y calentó el interior del planeta hasta que se fundieron el hierro metálico y el sulfuro de hierro hundiéndose hacia el centro y formando un núcleo. Las medidas realizadas por las naves espaciales del campo magnético marciano han probado la existencia de dicho núcleo. En el segundo periodo unos 1.000 millones de años después lo que se fundió y diferenció fue el manto. El material menos denso rico en silicio y  aluminio formó la corteza y el más denso y carente de estos elementos el  manto. El vulcanismo formó la atmósfera del planeta.

A partir de la densidad media y del momento de inercia puede definirse la estructura de un modelo de Marte con núcleo y manto. Asumiendo que la masa del planeta es 0,1061Mt y el radio 0,5326 veces el radio, que k₂=0,359 y la densidad media de Marte es 3,8731 gr/cm³  pueden estimarse distintos ajustes entre el tamaño del núcleo y las densidades. Primero asumimos una fracción del núcleo digamos 0,35 y buscamos el mejor valor de las densidades del manto y núcleo para que k₂ sea el correcto. Para cada valor del tamaño del núcleo fijado arbitrariamente hay un valor para la densidad del manto. Nos tenemos que preocupar de que la densidad del núcleo sea la adecuada para conseguir la densidad media de Marte correcta. Así dado r y 𝜌_m la densidad del núcleo debe ser

Asumiendo dos valores para la fracción del núcleo de 0,35 y 0,55 calcula el mejor ajuste de las densidades del manto y núcleo para que k₂ sea 0,359. R es el radio del planeta.

Para cada r hay que ir variando 𝜌_m para que el momento de inercia sea el adecuado I₃=2,6154x10³⁶ kgm² de modo que k₂=I₃/M R². Hay que llevar cuidado con las unidades y multiplicar r por R y por 1.000 para que el resultado sea en metros.

El mejor ajuste para r=0,35 se halla en una densidad del manto de 3,421 gr/cm3 y del núcleo de 13,966gr/cm³.

Así repetimos el proceso para otras fracciones 0,4 etc hasta 0,6. Por ejemplo para 0,55 de fracción el mejor valor de las densidades del manto es 3,304 gr/cm³ y núcleo 6,725 gr/cm³.

Ahora podemos resumir para  diferentes fracciones del núcleo las densidades del manto, núcleo y el porcentaje de masa que representa el núcleo.

Facilita para diferentes valores de la fracción del núcleo desde 0,35 hasta 0,60 y calcula el mejor ajuste de las densidades del manto y núcleo para que k₂ sea el correcto y las fracciones de masa del núcleo y manto. También indica la situación de equilibrio para la composición del núcleo más probable. 

Vemos que puede existir un núcleo pequeño y denso o grande y liviano, pero hay algunas composiciones que nos permiten acotar su tamaño. El valor 0,35 de la fracción del núcleo representa un valor mínimo pues conduce a un densidad del núcleo superior a la del hierro, quizá un valor de 0,45 esté mas acertado. La densidad mínima del núcleo es una composición de sulfuro de hierro puro (SFe) que daría una densidad de sólo 4,84 gr/cm³ . Esto es bastante improbable porque para alcanzarla el núcleo debería ocupar el 81 % del radio y el manto tendría una densidad de 2,77 gr/cm³ ocupando el núcleo el 66,5% de la masa del planeta. Asumiendo constituyentes del núcleo medios para las condritas carbonáceas formados por  un 58,1% de hierro un 32,2% de SFe y 9,7% de níquel la densidad media del núcleo sería:

Como vemos a medida que la fracción crece la densidad del núcleo central decrece a 0,53 es 7,029 gr/cm³ y a 0,54 es 6,870 estando entre ambos. A 0,535 es 6,948 por lo que esta en el intervalo 0,530 y 0,535. La solución es 0,532 y entonces la densidad del manto es 3,320 gr/cm³ y la del núcleo 6,993 gr/cm³ ocupando el 27,2% de la masa del planeta. Esto representa un núcleo de 1805 km. Mars InSight nos dirá que valor del núcleo es la adecuada.

Existen además varios indicios de que este núcleo es, al menos parcialmente, líquido: de un lado, la deformación del planeta a causa de las mareas solares, y por otro el gradiente térmico superficial. Marte puede ser un excelente ejemplo de capacidad de los núcleos planetarios de permanecer fundidos a lo largo miles de millones de años.

Estructura interna de Marte que muestra la diferenciación del planeta. La corteza de unos 50 km en promedio, es rica en aluminio y silicio y pobre en magnesio y al igual que la Tierra y Luna tiene espesores muy variables. La desintegración de elementos radioactivos calentó el interior del planeta hasta que se fundieron el hierro metálico y el sulfuro de hierro hundiéndose hacia el centro y formando un núcleo. Hay varias combinaciones  posibles con un núcleo más pequeño y denso u otro más ligero y grande. El manto está formado de silicatos de hierro y magnesio. A lo largo de la historia de Marte por vulcanismo parte del material más ligero ha llegado a la superficie especialmente del hemisferio norte formando inmensas llanuras de lava. Las plumas calientes que ascienden del interior son bastante fijas en el tiempo y han creado enormes estructuras volcánicas que son las más altas del Sistema Solar.

Relación entre la energía de rotación y la masa en el Sistema Solar

De los planetas en nuestro Sistema Solar, cinco rotan libre y rápidamente y en la misma dirección que orbitan alrededor del Sol, son Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno. La Tierra ha sido frenada en su rotación por la Luna, Mercurio por el Sol, mientras que Venus presenta una rotación lenta y retrograda. Entre los planetas del Sistema Solar que presentan una rotación primigenia existe una clara e inexplicable correlación entre la velocidad ecuatorial de rotación del planeta que varía de los 0,24 km/s de Marte hasta los 12,53 km/s de Júpiter y la raíz cuadrada de la masa del planeta. Esto significa que cuanto más grande es el planeta más velocidad ecuatorial tiene tanto por ser más grande como por girar más rápidamente. Que un planeta gire con la velocidad ecuatorial que le corresponde a su masa es tan misterioso como que la masa del agujero negro que está en el centro de cada galaxia sea una fracción exacta de la masa de toda la galaxia.  Esta misteriosa relación parece extenderse a planetas extrapolares que giran libremente y no son frenados por fuerzas de marea.

En el caso de la Luna que está en rotación síncrona con la Tierra el par de fuerzas que la frenan son causadas por la Tierra y el Sol. A su vez la Luna y el Sol ejercen sobre nuestra Tierra un par de fuerzas que frena la rotación de la Tierra.