Legado del programa Apolo (0)

Justificación personal 

Se ha celebrado hace poco el 50 aniversario de la llegada del hombre a la Luna. Con tal motivo he decidido exponer en Twitter las fotografías de los recortes de periódico del histórico vuelo del Apolo XI que ocurrió del 16 al 24 de julio de 1969. Lo viví con 17 años y empezando mi carrera de Físicas. No fue este hito histórico lo que marcó mi vida. Estaba ya marcada por el inicio de la exploración espacial en 1957. Veía en mi pueblo de Beniopa (hoy anexionado a Gandía) los satélites artificiales pasar de oeste a este, de Marxuquera hacia Gandía. Luego vinieron los primeros vuelos tripulados de Gagarin, Titov, Glenn, Carpenter, que seguía en un viejo aparato de radio. Exploraba con avidez las primeras páginas del Atlas de Geografía donde había una pequeña introducción a la Astronomía en un contexto familiar donde nadie me podía ayudar. Quería saber qué cambiaba en la atmósfera para que empezase a llover. Fundamental conocer a mi amigo y compañero de estudios Paco Burguera a los 11 años y a mi profesor de Física y Química y luego compañero de Seminario D. José Merí en 3 de Bachiller, hasta el final de éste, de sus problemas sobre calcular la velocidad de una nave espacial en órbita baja alrededor de la Tierra. En este contexto en 1959, empecé a recoger, copiando primero y pegando después, lo que los periódicos publicaban. Hasta hoy, sólo que desde hace unos años de Internet. Me interesé, en mi adolescencia, por la Astronáutica, la Astronomía, la Meteorología. Es decir la Ciencia.

Generalidades:

1) Contexto histórico

A finales de los años 50 y en la década de los 60, cuando se desarrolla el inicio de la exploración espacial, había una sórdida Guerra fría entre la Unión Soviética que representaba el comunismo y el mundo occidental dirigido por EEUU que representaba al capitalismo y la democracia. Esto era así desde el final de la II Guerra Mundial en que fueron aliados. La pelea se establece en todos los ámbitos pero fundamentalmente en el militar y científico. Europa se halla dividida entre los dos bloques, cada uno de los cuales establece un brazo militar entre sus “aliados”. En 1956 Fidel Castro inicia una revuelta militar contra el corrupto régimen de Batista y Cuba pasa de ser del “casino de juego” de los americanos al aliado de la Unión Soviética. Una afrenta en el patio trasero que el imperialismo americano no pudo consentir.

Cada bloque se empeñaba en demostrar que su sistema político y social era el mejor. La propaganda hacía hincapié en sus éxitos militares y científicos. Primera bomba atómica de fisión, de fusión (bomba H), misiles intercontinentales, y como no la carrera espacial. Se repartieron los técnicos de la Alemania nazi que habían logrado avances  en los cohetes como la famosa V2. Werher von Braun fue el jefe de diseño de los cohetes V2 alemán como del Saturno V que llevó al hombre a la Luna. Pese a los más de 50 años transcurridos el Saturno V no ha sido superado.

2) Breve resumen de la carrera espacial

La Unión Soviética dio primero, consiguiendo, en 1957 el lanzamiento y puesta en órbita del Sputnik I, el lanzamiento del primer ser vivo (Laika, Sputnik II), la primera nave que impacto con la Luna en 1959 (Luna II), la primera que fotografió la cara oculta de la Luna (Luna III, 1959), el primero en conseguir poner un ser humano en órbita y devolverlo sano y salvo a la Tierra (Vostok 1, Yuri Gagarin,12 de abril de 1961). Diez meses después el 22 febrero de 1962, lo lograría EEUU con John Glenn y la cápsula Amistad 7 del proyecto Mercury. 

El 25 de mayo de 1961, apenas un mes después del vuelo de Yuri Gagarin y cuando EEUU aún no había puesto un hombre en órbita, John F. Kennedy delante del Congreso y Senado de los EEUU se comprometió a lograr que un hombre vaya a la Luna y regrese sano a la Tierra antes del fin de esta década. No había nada de un proyecto científico, era un reto tecnológico y un nuevo frente de confrontación con el otro bloque. 

La Unión Soviética era la primera en la carrera espacial pero la tecnología de EEUU estaba más adelantada. Aún así en enero de 1966 el Luna IX fue el primero en aterrizar suavemente en el Océano de las Tormentas mediante un sistema de airbag y trasmitir fotos a la Tierra. EEUU lo logró con el Surveyor I en mayo de 1966. Puso una nave en órbita de  la Luna (Luna X ) en marzo de 1966 y EEUU lo logró con el Lunar Orbiter I en agosto de 1966. En el programa espacial tripulado tras el proyecto Vostok y Mercury de un hombre sólo, vino el Voshod y Gemini respectivamente. Voshod I (12 octubre de 1964) fue una cápsula con tres tripulantes en mangas de camisa (sin traje espacial) y Voshod II en marzo de 1965 con dos cosmonautas se caracteriza por el primer paseo espacial efectuado por Alexei Leonov, algo que los EEUU logró con el Gemini IV en junio del mismo año con Edward White. Pero mientras el programa Voshod acaba aquí el programa Gemini efectúa diez vuelos tripulados (Gemini III al Gemini XII) donde se efectúan largas permanencias y citas espaciales y acaba en noviembre de 1966 convirtiendo los vuelos tripulados casi en una rutina. La Unión Soviética inaugura el programa Soyuz (que significa Unión) en abril del 1967 con un desastre: Vladimir Komarov muere al regresar al fallar el paracaídas. Tuvo otros problemas durante el vuelo espacial y todas las naves no tripuladas tipo Soyuz pero bautizadas Cosmos, lanzadas previamente fallaron estrepitosamente. Un año y medio después se lanza el Soyuz II sin tripulación que debía acoplarse con el Soyuz III que tripulaba el cosmonauta Georgi Beregovoi. A partir de aquí la Unión Soviética dedica sus naves Soyuz a vuelos entre ellas, logrando la Soyuz IV y V (enero 1969) la primera unión de dos naves tripuladas con intercambio de la tripulación. La versión lunar de la Soyuz, las naves Zond nunca fueron tripuladas. Desde las misiones Zond 4 (marzo 1968) a la Zond 8 (octubre 1970) fueron vuelos circumlunares de regreso libre sin entrar en órbita lunar.

El programa Apolo se inicia con un desastre, el Apolo 1 que debía lanzarse el 21 de febrero de 1967 sufre un incendio en la rampa de lanzamiento el 27 de enero y los tres tripulantes Virgil Grissom, Edward White y el novato Roger Chaffee mueren carbonizados. La comisión del accidente replantea todo y los vuelos tripulados Apolo se suspendieron durante 20 meses. El Apolo V con la nueva nave fue lanzado sin tripulación en enero de 1968 y la primera nave tripulada alrededor de la Tierra lanzada por el Saturno IB fue lanzada en octubre de 1968. En una opción arriesgada el Apolo VIII con los módulos de mando y servicio y sin el módulo lunar fueron lanzados a la Luna por el Saturno V (usado por primera vez) en diciembre de 1968.  Tras ponerse en órbita lunar y dar 10 vueltas en 20 horas encendió los motores para salir de la órbita lunar y volver a la Tierra.  Tras este vuelo estaba claro quién ganaba la carrera.

Fig. 1 El astronauta del Apolo VIII William Anders tomó esta fotografía de la Tierra sobre el horizonte lunar.

El Apolo IX fue lanzado en marzo de 1969 en órbita alrededor de la Tierra pero incluía por primera vez al módulo lunar.  Se hicieron maniobras críticas de ensamblaje entre el módulo de mando y lunar indispensables para el aterrizaje en la Luna. El Apolo X en mayo de 1969, fue el ensayo general para el aterrizaje en la Luna. Hizo el mismo viaje del Apolo XI hasta separar el módulo lunar del módulo de mando y descenderlo a una órbita a sólo 15 km. de la Luna, pero, sin descender a la Luna. Luego puso el motor de ascenso para acoplarse al módulo de mando en órbita a unos 100 km. de la Luna. Luego vino el Apolo XI que hemos recreado mediante tuits, cada uno de los 8 días, en su 50 aniversario y que logró 22 kg. de regolito y roca. Su análisis permitió saber que la Luna se había creado en caliente en la asamblea de Houston de enero de 1970. Del Apolo XII al Apolo XVII hubo 5 descensos más en la Luna pues el Apolo XIII tuvo un accidente y hubo que cancelar el aterrizaje lunar. Mientras iba hacia la Luna estalló el módulo de servicio y los astronautas en trayectoria de libre retorno se tuvieron que refugiar, hasta el último momento, en el módulo lunar. Un problema de supervivencia digno de ser recordado y lo fue en una célebre película.

Fig. 2 El Apolo XII efectuó un aterrizaje de precisión para posarse lo más cerca del Surveyor III. Charles Conrad retira algunos elementos de la cámara y se los trajo a la Tierra.

En estos cinco descensos las estancias en la Luna, el número de paseos y su duración fueron mayores y los astronautas del Apolo XV al Apolo XVII usaron un Vehículo de Exploración Lunar (LRV) que amplió la zona de exploración. Además la zona de alunizaje abandonó los lugares fáciles y monótonos relativamente llanos para ir a la cordillera de los Apeninos y Grieta de Hadley (Apolo XV) Tierras altas de Descartes y Formación Cayley (Apolo XVI) Valle Taurus-Littrow (Apolo XVII).

Fig. 3 El astronauta Harrison Schmitt de Apolo XVII  aparece junto al LRV

Fig. 4  Harrison Schmitt aparece junto a una gran roca durante su 3r paseo lunar (EVA 3).

Los aterrizajes en la Luna se extendieron desde julio del 69 a diciembre del 1972. El último Apolo estuvo 75 horas en la Luna y efectuaron tres paseos con una duración total de 22 horas. De los doce astronautas que pisaron la Luna el único científico fue Harrison Schmitt que pertenece a la última misión. Ellos sólos, recogieron 110,5 kg. de muestras y el total de los seis vuelos a la Luna es de 382 kg. recogidos durante un total de 81,5 horas de trabajo de cada uno de los dos astronautas.

Se suspendieron los vuelos del Apolo XVIII al Apolo XX para dedicar estas naves Apolo a un programa de colaboración con los soviéticos: el famoso vuelo Apolo- Soyuz y a la estación espacial Skylab hecha con la tercera fase del Saturno V. Los soviéticos no habían llevado hombres a la Luna pero habían desarrollado mucho el programa de estaciones espaciales.

Finalmente los soviéticos lograron traer 101 gr. de muestras lunares con el vehículo no tripulado Luna XVI en septiembre de 1970 y pasear los vehículos por la Luna con el Lunajod I y II que viajaron con el Luna XVII y Luna XXI. El Luna XXIV de agosto de 1976 fue la tercera misión de recogida de muestras lunares y la última. Los americanos recogieron kilogramos los soviéticos gramos.

3) Conocimiento de la Luna antes del programa Apolo 

De la Luna, conocida desde la más remota antigüedad, se ignoraba casi todo. Apenas se conocía el tiempo de revolución alrededor de la Tierra que coincidía con el movimiento de rotación y por eso presenta la misma cara a la Tierra, sus fases, la geografía lunar, su tamaño, distancia, y sus complejos movimientos orbitales. Eratóstenes midió (siglo II a.C.) el tamaño de la Tierra, Hiparco (siglo I aC.) la distancia a la Luna que cifró en 60 radios terrestres y conocido el tamaño angular coincidente por casualidad con el solar (½º) el radio real de la Luna: unos 1.700 km. A la rara coincidencia angular de los radios del Sol y de la Luna se debe que un eclipse de Sol pueda ser total. No obstante la Luna describe una elipse alrededor de la Tierra y cuando está más alejada su diámetro angular puede ser menor que el solar y ser el eclipse anular. El periodo sinódico (una órbita a la Tierra respecto al Sol) de 29,5 días, es conocido desde la antigüedad y en él se basan los calendarios lunares así como sus fases. También era conocido el periodo sideral (una órbita a la Tierra respecto punto fijo de la órbita) es de 27 y 1/3 días. Otra cosa que costó mucho más es su movimiento orbital. El sistema Tierra-Luna es un sistema doble pues la Luna con una masa de 1/81 la masa terrestre es desproporcionadamente grande y en el movimiento lunar influye tanto la Tierra como el Sol, un problema de tres cuerpos difícil de resolver. Es necesario tener en cuenta 1.475 irregularidades para conocer  con precisión el movimiento lunar. Extraordinarias eminencias del siglo XVII al XX estudiaron dicho movimiento.

Hacia 1609 Galileo observó la Luna con el recién descubierto telescopio y aunque no fue el primero, supo observar las sombras de los accidentes orográficos descubriendo que la Luna era como la Tierra con sus montañas, valles, etc. Fue el primero en determinar la altura de estas montañas. Las observaciones telescópicas lograron conocer con precisión la geografía de los mares y zonas altas de la cara visible que gracias a las libraciones (diferencias del movimiento de rotación de la Luna que es uniforme y del movimiento orbital que sigue en primer orden la segunda ley de Kepler) es el 59% del total.

Como hemos dicho en 1959 el Luna III soviético fotografió la cara oculta de la Luna. La dicotomía entre ambas caras es un problema más a resolver.

Fig. 5 A la izquierda la cara visible con sus mares (zonas oscuras) y sus tierras altas (zonas blancas).  A la derecha la cara no visible donde casi no hay mares.

Pero nada se sabía del origen de la Luna, su edad, de la naturaleza de los cráteres, de su historia geológica, su composición interior. Había tres teorías sobre su origen: la acreción suponía que se había formado como los planetas o satélites de los planetas gigantes a partir de un disco de acreción que rodeó a un Sol primitivo y en formación o de un subdisco de acreción planetario como el que rodeaba a los planetas gigantes. La segunda decía que su origen fue por fisión de una Tierra fundida que giraba rápidamente y su fuerza centrífuga dejo escapar por el ecuador el material del que se formó la Luna. La tercera que fue capturada por la Tierra de entre los cuerpos que se acercaron demasiado a la Tierra en una época temprana. La cara visible  de la Luna está ocupada en su mayor parte por los maria  (“mares") más oscuros y llanos ¿cuál era su origen? Los cráteres que salpicaban su superficie eran de origen volcánico o impactos de asteroides y meteoritos. La opinión de los científicos se dividía al 50%. ¿Se había formado en frío (menos de 300 ºC) por acreción o había tenido un origen cálido con su corteza fundida? La opinión dominante en aquellos momentos es que en al igual que los planetas y otros cuerpos rocosos se formó por acreción es decir por la acumulación de materia durante cientos de millones de años de progresivo enfriamiento.
Rick Carlson, geoquímico y director del departamento de magnetismo terrestre del Instituto Carnegie para la Ciencia dice: Antes del Apolo, la visión dominante sobre la Luna era que estaba compuesta de material primitivo datado en los primeros tiempos de la formación del Sistema Solar. Se formó en frío y sólo estaba fundida localmente por el impacto de algún gran meteorito. Para resolverlo hacían falta muestras lunares. Veremos que la presencia de anortosita una roca formada cuando el magma se enfría y solidifica, entre las rocas del Apolo XI cuando este aterrizó en una zona del Mar de la Tranquilidad. Se esperaban, como así ocurrió, basaltos oscuros formados tras la solidificación de lava líquida, pero la anortosita  llevaba a una formación en caliente. La Teoría de la Gran Impacto sobre el origen lunar es también un legado del Apolo y es de un poco más tarde, 1975 apenas tres años tras terminar el Programa Apolo. Viene a reforzar la formación en caliente.
Pero, ¿cuál era su edad? ¿tenía tanta edad como la Tierra? Los astrónomos habían conseguido datar localmente las regiones lunares según su craterización. Un lugar con pocos cráteres era geológicamente joven. A medida de era más viejo, aumentaba la densidad de cráteres de un determinado tamaño y si era muy viejo, estaba saturado de cráteres y la formación de un nuevo cráter destruía uno antiguo. Estaba claro que en superficies craterizadas, si la edad era superior al límite de saturación, entonces, la edad estaba indeterminada. Además la escala era cualitativa, faltaba calibrar y la forma de hacerlo era traer muestras y datarlas mediante desintegración radioactiva. Eso es lo que hizo el Apolo.
Respecto a su estructura interior el desconocimiento era total: ¿tenía un núcleo metálico como la Tierra o por el contrario estaba hecha sólo de roca? Para conocer la estructura del interior de la Tierra los científicos han usado los terremotos como fuente de información y la medida del flujo de calor. Los astronautas del Apolo siguieron un método similar observando los seísmos lunares medidos por los sismómetros dejados por las seis misiones del Apolo, haciendo estallar explosivos sobre la superficie o provocando seísmos artificiales haciendo chocar contra la Luna la tercera fase del Saturno V o la parte de ascenso del módulo lunar. Hasta que fueron apagados por falta de presupuesto al final de la década de los 70 se detectaron más de 12.000 seísmos lunares.  De ellos unos 7.000 ocurrieron en el interior profundo de la Luna, y el resto producido por impactos de meteoritos o derrumbes en la superficie de la Luna. Ya hemos visto esto en el articulo Los astronautas del Apolo y el sondeo sísmico lunar. Ahora (Legado IV) destacaremos cómo se averiguó la estructura interior de la Luna. Adelantemos un resultado importante: la Luna tiene un pequeño núcleo de hierro de  340 km de radio.

Fig. 6 El astronauta Buzz Aldrin del Apolo XI instalando el sismómetro.

Ahora Mars Insight está intentando con un sismómetro mucho más sensible que los del Apolo y con una perforación que, de momento, tiene serios problemas, determinar el flujo de calor para saber algo de la estructura interna de Marte. Lo hemos visto en Flujo de calor interno de la Tierra y Marte .
Si hemos hablado del origen es bastante sensato que hablemos de su futuro. Los reflectores dejados por los Apolos y los dos reflectores láser de los Lunajod soviéticos siguen funcionando. Permiten calcular la distancia de la Tierra a la Luna enviando un haz láser y haciéndolo rebotar en el espejo. Así el tiempo que tarda en hacer el viaje de ida y vuelta permite saber la distancia. También permite la localización precisa de los lugares de aterrizaje. La Luna gira en una órbita elíptica de distancia media a=384.403 km de la Tierra, acercándose hasta los 363.299 km. y alejándose 405.507 km.
Pero aparte, hay un aumento de la distancia media en 3,8 cm cada año. Es decir la Luna se aleja con el tiempo. Este no es un resultado sorprendente. Los resultados de los reflectores no hacen sino confirmar un resultado que es un fruto de física elemental. El sistema Tierra-Luna es un sistema aislado que conserva el momento cinético.
Las mareas causadas por la Luna y en menor medida el Sol, es el factor principal, aunque no el único, que causa el frenado en la rotación de la Tierra. Las mareas en la Tierra son una fuerza diferencial causada por la diferente distancia a la Luna. La Luna atrae con fuerza desigual el agua de los mares de la Tierra en la dirección Tierra-Luna que el propio centro de la Tierra más lejano, causando un bulbo en la dirección Tierra-Luna. Por extraño que parezca en sentido contrario de la dirección Tierra-Luna también hay un bulbo. En este caso, la  causa es que el agua, debido a su mayor lejanía con el centro de la Tierra, es menos atraída por la Luna. El bulbo crea la pleamar cada 12 horas debido a la rotación de la Tierra.

Fig. 7 Formación de la protuberancia debida a la marea. El bulbo cercano al cuerpo perturbador se debe a que la parte cercana al cuerpo perturbador es más atraída que el centro del cuerpo perturbado. El bulbo lejano se debe a que la parte lejana es menos atraída que el centro.

La atracción mareal de la Luna frena la rotación de la Tierra, con una tasa ahora de 1 segundo cada 62.000 años o 16 segundos por millón de años o 0,000016 segundos cada año. Ello causa una disminución del momento cinético de la Tierra y un aumento del momento cinético orbital de la Luna y su alejamiento. Hay evidencias muy fuertes de ello. Gracias a los corales se sabe que hace 600 millones de años el año constaba de 423 días. La duración del día terrestre era de 20h y ¾ . En el Período Devónico hace unos 400 millones de años el día terrestre duraba 21 horas y ¾ y la Luna estaba a una distancia a la Tierra que era la mitad de la actual.
La Luna se creó entre 40 y 100 millones de años tras la formación del Sistema Solar (hace unos 4.500 millones de años) probablemente a unos 1.500 km. de la superficie de la Tierra y cuando el día en la Tierra duraba 5 horas.
La Tierra también ejerce mareas sobre la Luna. La fricción debida a esas mareas frenó la rotación de la Luna, provocando que ésta presente siempre la misma cara hacia la Tierra.  La órbita de la Luna se llama sincrónica porque dura lo mismo su periodo orbital y el de rotación. Este es motivo de que la Luna presente siempre la misma cara a la Tierra.
El día en la Tierra continuará alargando y la Luna alejándose hasta que la Tierra presente siempre la misma cara a la Luna y se invierta el proceso. Entonces la Luna estará a 558.600 km. de la Tierra y el día en la Tierra durará 47 días. El tiempo para que ello ocurra supera la edad actual del Universo.
La Tierra (5,97×10²⁴ kg) gira alrededor del Sol (1,99×10³º kg) a una distancia de 149,6 ×10⁶ km. La esfera gravitatoria de la Tierra se extiende a aproximadamente 1,5 ×10⁶ km (0,01 U.A.). Como la órbita de la Luna está a una distancia de 0,384 ×10⁶ km. de la Tierra, la Luna se encuentra cómoda dentro de la esfera gravitatoria de influencia de la Tierra y no está en riesgo de colocarse en una órbita independiente alrededor del Sol pues está 4 veces más cerca de la zona peligrosa. Si se aleja hasta 0,5586×10⁶km de la Tierra estará todavía muy dentro del campo gravitatorio de la Tierra y por tanto ¡siempre será un satélite de la Tierra! Sin embargo, mucho antes de que esto ocurra, el Sol en unos 6.000 millones de años se habrá convertido en gigante roja y probablemente destruya el sistema Tierra-Luna.
No habrá civilización ni vida que lo vea, pues mucho antes, la Tierra habrá salido de la Zona Habitable del Sistema Solar. Esto se debe a que el Sol aumenta su luminosidad con el paso del tiempo. En los próximos 1.000 millones de años el Sol habrá alcanzado una luminosidad un 10% superior a la actual y la temperatura en la Tierra hará que se inicie un proceso invernadero desbocado (como Venus) que evaporará los mares, aumentará la presión atmosférica y la temperatura aún más y la Tierra se volverá inhabitable.
En aproximadamente la mitad del tiempo para que la Tierra se convierta en no habitable (unos 500 millones de años) el punto más cercano de la órbita lunar estará a suficiente distancia como para no tapar completamente al Sol en su punto más lejano.  Los eclipses solares dejaran de ser totales para convertirse en eclipses anulares.

Resumen

Probablemente un lector generalista no necesita más. Saber que gracias al Apolo y sus muestras de roca conocemos que la Luna se formó en caliente y que fue fruto de una gran colisión entre una prototierra y un protoplaneta del tamaño de Marte. Que ello ocurrió hace 4.500 millones de años. Que los cráteres son de impacto estando ausentes los de origen volcánico, si bien los mares son de lava solidificada. Que gracias a la datación de las rocas se ha podido calibrar la escala de densidad de craterización y datar todas las regiones lunares. Que gracias a los experimentos con los sismómetros se ha logrado saber la estructura interna de la Luna, siendo el único cuerpo junto con la Tierra del que conocemos su estructura. Respecto a la dicotomía de las dos caras es  lo que menos se conoce: Hay dos teorías. La primera hace referencia a que las mareas de la Tierra desplazaron ligeramente su centro de masas del centro geométrico. Ello causó que la corteza del lado oculto sea más gruesa que la de la cara visible e impidiendo a la lava desparramarse y causar los mares. La segunda hace mención a que durante su formación se formó una segunda luna, más pequeña que acabó chocando con la Luna en su cara no visible, esparciendo sobre ella sus restos y haciendo que se corteza se hiciera más gruesa. La Luna a pesar de que se aleja de la Tierra 3,8 cm por año nunca dejará de ser satélite de la Tierra. Se alejará a poco más de medio millón de km. cuando el campo gravitatorio terrestre tiene millón y medio de km. Mucho antes de que esto ocurra, en 6.000 millones de años, el Sol convertido en gigante roja habrá quizá destruido el sistema Tierra-Luna. Nadie la verá pues en 1.000 millones de años la Tierra se convertirá en un lugar inhabitable. En la mitad de ese tiempo los eclipses solares totales serán historia.
Sin embargo si quieres conocer más detalles publicaré cinco artículos sobre cada uno de estos temas, con una cadencia de aproximadamente una semana.

1) Legado I: Composición de la Luna

2) Legado II: Origen de la Luna

3) Legado III: Datación por densidad de craterización. Calibrado. Bombardeo masivo tardío.

4) Legado IV: Estructura del interior lunar

5) Legado V: El pasado y futuro del sistema Tierra-Luna

Bibliografía:

• The Scientific Legacy of Apollo (Ian A. Crawford, Department of Earth and Planetary Sciences, Birkbeck College,University of London en arXiv 2012)
• Los resultados científicos del Apolo XI (Rafael Bachiller, Director del Observatorio Astronómico Nacional.
• Redescubriendo la Luna (Jorge I. Zuluaga, Astrónomo del SEAP y FCEN Universidad de Antioquía, Colombia)
• Apuntes míos: Origen de la Luna (Cap. 27.10.10) Datación de superficies planetarias (Cap. 5.4.2)

¿Planetas troyanos?

El 22 de enero de 2019 Adrien Leleu, el alicantino Jorge Lillo-Box, y otros entre los que figura Jean Schneider que forma parte de los científicos del Observatoire de París que organiza desde 1995 The Extrasolar Planets Encyclopaedia publicaron el artículo titulado: Co-orbital exoplanets from close period candidates: The TOI-178 case donde establecen la posibilidad de que dos planetas coorbitales sean estables si son troyanos. Un caso que no se da en el Sistema Solar a pesar de la existencia de asteroides troyanos en varios de los planetas del Sistema Solar como Júpiter, Marte, Neptuno e incluso la Tierra y varios satélites de Saturno. Sin embargo a pesar de que vemos normal la existencia de dos grupos de asteroides troyanos, uno 60º por delante de Júpiter y otro 60º por detrás, la posibilidad de tener dos planetas del tamaño Júpiter o la Tierra o como propone Sean Raymond, un Júpiter y una Tierra coorbitando a una distancia angular de 60º el uno del otro y en zona habitable, parece de ciencia ficción.

Lo que han demostrado Adrien Leleu y otros es que ello es posible desde un punto de vista de la estabilidad y ponen de relieve la existencia de un par de planetas candidatos de TESS como son TOI-178 02 y TOI-178 03 que orbitan en unos 10 días una estrella, TOI-178, de masa 0,64 y radio 0,7 el solar. El sistema tiene un tercer planeta TOI-178 01 que orbita la estrella en sólo 6,5 días. Los radios de los planetas coorbitales son 3,7 Rt y 2,3 Rt y probablemente son neptunos calientes dado que el radio de Neptuno es 3,9 Rt. TOI-178 03 tiene una pequeña probabilidad de ser una supertierra. 

Sin embargo, las configuraciones coorbitales de herradura o largo período de libración pueden explicar tal similitud de período.

Fig. 1 Los planetas TOI-178 02 y 03 son los posibles planetas coorbitales mientras TOI-187 01 es más interior y está en una resonancia 3:2.

Fig. 2 La demostración de su naturaleza coorbital puede resolverse considerando las variaciones de tiempo de tránsito (TTV) de cada planeta.

Hay que destacar que son candidatos y no planetas confirmados. Al igual que en el satélite Kepler donde los candidatos no confirmados se llamaban KOI (Kepler Objet of Interest) en el caso del satélite Tess los objetos no confirmados se llaman TOI. El sistema TOI-187 tiene tres planetas no confirmados nombrados como en Kepler, TOI-187 01, 02 y 03. 

Aparte de ser, de momento candidatos, y aunque las tres órbitas están cercanas a una cadena resonante 3:2:2, con dos planetas coorbitales y el interior en resonancia 3:2, no podemos excluir un sistema cerca de una configuración 4:3:2 que no tendría cuerpos coorbitales.

Puede pensarse que es el primer sistema descubierto con dos planetas coorbitales, pero no es así: Kepler-132 b y c son dos planetas coorbitales confirmados en 2014 que forman parte de un sistema de 4 exoplanetas de radios entre 1,17-1,54 Rt por lo que deben ser cuatro supertierras donde los dos coorbitales de periodos 6,178196 y 6,414914 días están acompañados de dos planetas exteriores de periodos 18,010199 y 110,286937 días. A pesar de lo que dice Jorge Lillo-Box no he podido encontrar información de que los dos coorbitales no son tales sino que giran en realidad alrededor de dos estrellas binarias diferentes.

Kepler-271 es también un sistema confirmado de tres planetas b, c y d. Kepler-271 b y c fueron descubiertos en 2014 y Kepler-271 d en 2016. Kepler-271 b y d de radios 0,88322 y 0,65962Rt respectivamente son los planetas coorbitales con periodos 5,217738 y 5,24972541 días respectivamente. Están acompañados de un tercer planeta exterior de radio 0,99502Rt y periodo 7,410935 días y no he encontrado ninguna información de que estén en resonancia 2:1. En la degeneración 2:1 un planeta excéntrico son en realidad dos planetas en resonancia 2:1 menos excéntricos y no al revés. Si estos planetas no fueron aceptados en su tiempo o considerados como falsos positivos por su rareza, dado que no son estables Hill, ahora con los candidatos TOI-187 02 y 03 estamos más próximos a encontrar planetas troyanos. Jorge Lillo-Box tiene tanta fe en ello que ha creado su proyecto TROY. Lo que ha demostrado con su trabajo, es, que los planetas troyanos físicamente pueden existir y todo lo que físicamente no está prohibido existe y acabará por descubrirse. Además, su trabajo y el de sus colegas, propone un método de VTT (Variación del Tiempo de Tránsito) para calcular sus masas y demostrarlo. Pero la historia de los troyanos no empieza ahora, se remonta al siglo 18 con el matemático Joseph-Louis Lagrange.

Puntos de Lagrange

En 1772, el matemático italiano de origen francés Joseph-Louis Lagrange, cuando no se habían descubierto ni Urano ni Neptuno, escribió su obra Essai sur le problèm des trois corps en el que trataba de descubrir una manera de calcular la evolución de las posiciones de tres cuerpos sometidos a la interacción gravitatoria. La mecánica de Newton resuelve completamente el problema de dos cuerpos, ambos si su energía total es negativa (sistema ligado) tienen una trayectoria elíptica alrededor del centro de masas del sistema. Sin embargo, desde entonces hemos sido incapaces de resolverlo si hay más de dos cuerpos. Lagrange consideró un caso particular más sencillo, el problema restringido circular: supone que el tercer cuerpo tiene una masa tan pequeña que su acción gravitatoria sobre los otros dos cuerpos es despreciable y además que los dos cuerpos orbitan alrededor del centro de masas en una órbita circular. 

Joseph-Louis Lagrange nacido en Turín, en 1736, murió en París en 1813. Como matemático destacan sus contribuciones al álgebra (resolución de ecuaciones algebraicas hasta de cuarto grado, determinantes, subgrupos etc.) ecuaciones diferenciales y teoría de números. Pero su contribución a la física no es menos importante. Movimiento vibratorio, cálculo de variaciones, mecánica de fluidos, destacando fundamentalmente su contribución a la Astronomía a la que dedicaremos un poco más de espacio:

• Introducción de la idea de potencial. El potencial de un cuerpo en un punto es la suma de cada elemento de masa del cuerpo dividido por su distancia al punto. Lagrange mostró que si el potencial de un cuerpo a un punto externo fuera conocido, podría determinarse la fuerza de atracción del cuerpo sobre el punto.
• Gravitación de elipsoides, un punto de partida del trabajo de Maclaurin.
• Tratado sobre las perturbaciones cometarias: método para determinar la órbita de un cometa con tres observaciones. Aunque el método no es utilizado, su sistema de calcular las perturbaciones, es la base de la mayoría de las futuras investigaciones.
• Movimientos del sistema joviano.
• La ecuación secular de la Luna. El movimiento de libración lunar.
• El movimiento de los nodos de la órbita de un planeta.
• La estabilidad de las órbitas planetarias.
• Su determinación de las variaciones seculares y periódicas de los elementos orbitales de los planetas. En 1806, Poisson, en un artículo leído ante la Academia francesa, mostró las fórmulas de Lagrange para la estabilidad de las órbitas. Lagrange, analizó entonces de nuevo el problema, y en una carta comunicada a la Academia en 1808 explicó cómo podían determinarse las desigualdades periódicas y seculares de cualquier sistema gravitatorio por la variación de constantes arbitrarias.
• El problema restringido circular: en el problema de los tres cuerpos, descubrió los puntos de Lagrange en 1772, de interés porque en ellos se han encontrado los asteroides troyanos y los satélites troyanos de Saturno y ahora los planetas troyanos.

En el problema de dos cuerpos, resuelto completamente por Isaac Newton, tanto el mayor como el menor se atraen mutuamente con la misma fuerza. Pero el menor responde por su menor masa mucho más que el grande a esa fuerza girando los dos alrededor del centro de masas de ambos. Si m₁ y m₂ son las masas y r la distancia que los separa, el baricentro o centro de masas se sitúa a una distancia tal que se cumple:

  m₁ r₁=m₂ r₂ con  r₁+r₂=r

Es como si en un columpio de 6 metros de longitud se colocan dos niños de 12 kg. el centro de masas viene dado por la posición del punto de apoyo para que el columpio esté equilibrado. A la mitad de ambos niños a 3m. Pero si se sientan un padre de 60 kg. y su hijo de 12 kg. el centro de masas a hay que colocarlo a un metro del padre.

Fig. 3 Un columpio como sinónimo del centro de masas.

Si se trata del sistema Sol-Tierra el centro de masas está ubicado cerca del centro del Sol debido a la diferencia de la masas entre ambos cuerpos. En el caso del sistema Sol-Júpiter, el baricentro se encuentra cerca de la superficie solar y un sistema binario con las dos masas iguales en el centro que la distancia que las separa.

En el problema restingido circular Lagrange considera un sistema de referencia que gira con los cuerpos mayores. Encontró cinco puntos fijos específicos en los que el tercer cuerpo, al seguir la órbita de los de mayor masa, se halla sometido a fuerza cero. Estos puntos nombrados L₁ a L₅ fueron llamados puntos de Lagrange en su honor. Estos puntos marcan las posiciones donde la atracción gravitatoria combinada de las dos masas grandes proporciona la fuerza centrípeta necesaria para rotar sincrónicamente con la menor de ellas. Los puntos de Lagrange son las soluciones estacionarias del problema restringido circular. Si, por ejemplo, se tienen dos cuerpos grandes en órbita circular alrededor de su centro de masas común, hay cinco posiciones en el espacio donde un tercer cuerpo, de masa despreciable frente a la de los otros dos, puede estar situado y mantener su posición relativa respecto a los dos cuerpos grandes.

Fig. 4 Curvas de potencial en un sistema de dos cuerpos (aquí el Sol y la Tierra), mostrando los cinco puntos de Lagrange. Las flechas indican pendientes alrededor de los puntos L, acercándose o alejándose de ellos. Contra la intuición, los puntos L₄ y L₅ son máximos.

El punto L₁ está entre las dos masas grandes m₁ y m₂ en la recta que las une. Es el más intuitivo de los puntos de Lagrange, aquel en que las atracciones opuestas de los dos cuerpos mayores se compensan. El punto L₂ está en la línea definida por las dos masas grandes m₁ y m₂, y más allá de la más pequeña de las dos. En él la atracción gravitatoria de los dos cuerpos mayores compensa la fuerza centrífuga causada por el menor. El punto L₃ está en la línea definida por las dos masas grandes m₁ y m₂, y más allá de la mayor de las dos. El punto L₄ y el punto L₅ están en los vértices de triángulos equiláteros cuya base común es la recta que une las dos masas, de forma que el punto L₄ precede al cuerpo pequeño un ángulo de 60º visto desde la masa grande, mientras que L₅ gira detrás del cuerpo pequeño, aunque con radio mayor que este, con un retraso de 60º visto a su vez desde el cuerpo grande. Los puntos de Lagrange, así como el cuerpo menor de masa M₂, no giran sobre el cuerpo grande, sino sobre el centro de masas de ambos cuerpos.

Los cinco puntos lagrangianos se ubican como sigue:

Fig. 5 Diagrama que muestra los cinco puntos de Lagrange en un sistema de dos-cuerpos de masa muy diferente (por ejemplo el Sol y la Tierra). En un sistema así, L₄ y L₅ parece que giran en la misma órbita que el cuerpo segundo, aunque de hecho lo hace ligeramente más alejado del primero.

Los primeros tres puntos de Lagrange son técnicamente estables sólo en el plano perpendicular a la línea entre los dos cuerpos. Esto puede verse más fácilmente considerando el punto L₁. Una masa de prueba desplazada perpendicularmente de la línea central sentiría una fuerza atrayéndola hacia el punto de equilibrio. Esto es así porque las componentes laterales de la gravedad de las dos masas se suman para producir esta fuerza, mientras que las componentes a lo largo del eje que une las masas m₁ y m₂, se anula. Sin embargo, si un objeto situado en el punto L₁ fuera llevado hacia una de las masas, la atracción gravitatoria que siente por esa masa sería más grande, y sería atraído hacia ella.

Aunque los puntos L₁, L₂ y L₃ son nominalmente inestables, resulta que es posible encontrar órbitas periódicas estables alrededor de estos puntos, por lo menos en el problema restringido de los tres cuerpos. Estas órbitas perfectamente periódicas, denominadas órbitas de halo, o las órbitas Lissajous cuasi-periódicas no existen de forma natural en el Sistema Solar y probablemente en los sistema extrasolares. Se han usado en todas las misiones espaciales a los puntos de libración con fines que no vamos a tratar aquí. Las órbitas no son perfectamente estables, pero un esfuerzo relativamente modesto lo mantiene en la órbita Lissajous durante un largo período.

Los puntos L₄y L₅ sí son totalmente estables en el caso de la órbita circular, pero en el caso más general de órbitas elípticas, no hay ya puntos estacionarios sino que más bien se trata de un área de Lagrange. Los puntos de Lagrange sucesivos, considerando órbitas circulares en cada instante, forman órbitas elípticas estacionarias, geométricamente semejantes a la órbita de los cuerpos mayores. Es por esta razón que los puntos de Lagrange, también denominados puntos L o puntos de libración. Los asteroides troyanos alrededor de Júpiter oscilan alrededor de L₄ y L₅  con una amplitud promedio de 33° oscilando alrededor de los 60º entre valores tan dispares como 0,6° y 88° ​y periodo que en  promedio, es de unos 150 años. Los asteroides troyanos están pues atrapados alrededor de los puntos L₄ o L₅ en órbitas llamadas tadpole. ¿Sería posible que un cuerpo se librase de L₄ o L₅ para viajar entre ambos puntos? La contestación es que sí. Viajan en una órbita de herradura. ¿Existen en el Sistema Solar cuerpos así? La respuesta es que sí. Los satélites de Saturno Jano y Epimeteo están en este tipo de órbita y la prueba espacial Lucy cuyo lanzamiento está previsto para 2021 hará un viaje entre los puntos L₄ y L₅ del sistema Sol-Júpiter. Volveremos a esta cuestión más adelante.

Asteroides troyanos

Pasaron 134 años desde que en 1772 el matemático Joseph-Louis Lagrange previera la existencia de los puntos L₄ y L₅ hasta que en 1906 cuando Max Wolf descubrió el primer asteroide troyano Aquiles, en el punto de Lagrange L₄ del sistema Sol-Júpiter.​ Hasta este momento, la publicación de Lagrange, se había considerado un divertimento matemático. Ese mismo año August Kopff descubrió a Patroclo en el punto de Lagrange L₅ y al año siguiente el mismo Kopff  descubrió en L4 a Héctor. El nombre troyanos se debe a que, por convención, cada miembro recibió el nombre de una figura mitológica de la guerra de Troya.

Fig. 6 Localización de los asteroides troyanos de Júpiter. También se muestra el cinturón principal de asteroides y el Sistema Solar interno.

A continuación se decidió dar a los asteroides próximos a L₄ nombres de héroes griegos de la Iliada: Agamenon, Ulises, Néstor, Alax, Diomedes pero antes el troyano Héctor se había colado en las tropas griegas. En L₅ todos son troyanos (Príamo, Anquiles Eneas, Troilo,...) excepto Patroclo un autentico caballo de Troya.

Hasta abril de 2010, el número de troyanos superaba los 4.000.​ Se cree que el número total de troyanos de Júpiter mayores de 1 km. ronda el millón, una cantidad similar al número de asteroides del cinturón principal del mismo tamaño.

En 1990 se descubrió el primer troyano en un planeta distinto de Júpiter; (5261) Eureka, un troyano perteneciente a Marte.​ Más tarde, en 2001, se halló el primer troyano de Neptuno: 2001 QR322 y en 2010 se descubrió 2010 TK7 un troyano de la Tierra que mide alrededor de 300 metros de diámetro.

Pero volvamos a los troyanos de Júpiter. Los asteroides troyanos se encuentran distribuidos en dos regiones alargadas y curvadas alrededor de estos puntos de Lagrange. Cada grupo se extiende 26° a lo largo de la órbita de Júpiter, lo que suma un total de 2,5 U.A.​ La anchura de cada grupo es similar a la de dos radios de la esfera de Hill, lo que en el caso de Júpiter suma unas 0,6 U.A.​ Muchos troyanos de Júpiter tienen inclinaciones orbitales (relativas al plano orbital del planeta) de más de 40°. Los troyanos de Júpiter tienen órbitas con semiejes mayores entre 5,05 U.A y 5,35 U.A., con un semieje mayor promedio de 5,20±0,15 U.A.​

Los troyanos no mantienen una distancia fija con el planeta. Lentamente sufren una libración alrededor de sus respectivos puntos de equilibrio, variando su distancia con Júpiter de manera periódica con una disparidad de amplitudes que no alcanzan los 90º y menos aún los 120º necesarios para que haya un intercambio de asteroides entre ambos grupos.

Se cree que el grupo L₄ podría contener entre 160.000 y 240.000 asteroides con diámetros mayores de dos kilómetros y alrededor de 600.000 con diámetros mayores de un kilómetro.​ Estos números son comparables a los miembros del cinturón de asteroides. Se estima que la suma de las masas de todos los troyanos es de 0,0001 veces la masa de la Tierra, o una quinta parte de la masa del cinturón principal.

El troyano de mayor tamaño es Héctor, con un radio de 101,5±1,8 km.​ El valor medio es un troyano de 42 km. de radio. Existen pocos troyanos cuyo tamaño sea mucho mayor que el promedio de la población. El número de troyanos por debajo del valor medio crece más rápidamente, que en el cinturón principal, aunque luego ese crecimiento se iguala en el número. Los troyanos de menor tamaño se cree que son los productos de colisiones entre troyanos mayores.

Ahora sabemos que los asteroides troyanos son una mezcla de asteroides de clases muy diferentes (tipos C, D y P) con distintos colores (el espectro de emisión es ligeramente rojizo) y son cuerpos oscuros (sus albedos oscilan entre 0,03 y 0,11). El troyano de mayor albedo es Enomo con 0,18. ¿A qué se deben estas diferencias? Son un reflejo, como veremos luego, de sus diferentes procedencias. No existen evidencias sólidas de la presencia de agua. Solamente el asteroide Enomo podría indicar la existencia de agua en su interior, en forma de hielo. La presencia de materia orgánica sólo se ha evidenciado en los troyanos Agamenón y Patroclo.

Sus densidades varían entre los 0,8 gr/cc y 2,5 g/cm³. La primera corresponde al asteroide binario Patroclo lo que sugiere que otros muchos troyanos tienen tamaños y composiciones más similares a los cometas u objetos del Cinturón de Kuiper (hielo con una capa de polvo a su alrededor). El compañero de Patroclo, Menoetos, orbita a unos 650 km. mucho más pequeña que la esfera de Hill de 35.000 km. La densidad de 2,5 gr/cc corresponde al troyano binario de contacto Héctor (dos asteroides que orbitan tan cerca que acaban estableciendo contacto, como Proxima Thule en el Cinturón de Kuiper). Esta diferencia de densidades es desconcertante e indica que el origen de los asteroides troyanos es muy diverso. Se cree que fueron capturados en sus órbitas durante los primeros estadios de la formación del Sistema Solar, entre 500 a 600 millones de años después y durante la migración de los planetas gigantes lo que explicaría su diversidad. Parece que los troyanos fueron capturados durante la migración planetaria, provocada por el paso de Júpiter y Saturno a la resonancia orbital 1:2. Cuando esto ocurrió, Urano y Neptuno, y Saturno en cierta medida, se movieron hacia el exterior, mientras que Júpiter lo hizo ligeramente hacia el interior. Esta migración de planetas gigantes desestabilizó el Cinturón de Kuiper primordial, el cual expulsó millones de objetos hacia el interior del Sistema Solar. Estos objetos se acumularon y formaron los troyanos que se observan actualmente. Dicho con otras palabras, los asteroides troyanos se formaron originalmente en diferentes partes y por tanto guardan un registro de los procesos de formación del Sistema Solar y de cómo los planetas gigantes cambiaron sus órbitas en el pasado.

Otra teoría minoritaria sugiere que se formaron in situ. La última etapa de la formación de Júpiter involucró un crecimiento descontrolado de su masa debido a la acreción de grandes cantidades de hidrógeno y helio del disco protoplanetario; durante este crecimiento, el cual se prolongó solamente unos 10.000 años, la masa de Júpiter se multiplicó por diez. Los planetesimales que tenían órbitas cercanas a la de Júpiter fueron capturados por el campo gravitatorio cada vez más intenso del planeta gigante. Esta hipótesis presenta el problema de que el número de cuerpos atrapados excede en cuatro órdenes de magnitud la población de troyanos observada. No explicaría la diversidad de troyanos pero sí la inexistencia de troyanos de Saturno.

La sonda Lucy que despegará en octubre de 2021 estudiará los dos grupos de troyanos en los puntos L₄ y L₅: En su viaje a la órbita de Júpiter, en abril de 2025 pasará por el asteroide DonaldJohnson (1981 EQ5), un asteroide del cinturón principal de tipo C. Ya en L₄, en agosto de 2027 pasará por Eurybates (tipo C), en septiembre de 2027 visitará Polymele (1999 WB2), un asteroide de tipo P, en abril de 2028 se acercará a Leucus (1997 TS25) y en noviembre del mimo año a Orus (1999 VQ10), dos asteroides de tipo D. Luego Lucy se dirigirá hacia la órbita de la Tierra y en marzo de 2033 sobrevolará el asteroide binario de tipo P Patroclo/Menoetos en L₅. La visita a Patroclo es muy interesante por ser binario, el menos denso, posiblemente un objeto del Cinturón de Kuiper y quizá tener materia orgánica.

Fig. 7 Trayectoria de la misión Lucy a ambos grupos troyanos visitando los tres tipos de asteroides (C, D y P) ayudará a clarificar su origen y la migración de los planetas gigantes. Es la misión de la década de los 20.

El número de troyanos observados alrededor del punto L₄ es ligeramente superior al del punto L₅; esta disparidad se puede o no deber a un sesgo en la observación. No obstante, algunos modelos indican una estabilidad ligeramente mayor en el grupo L₄.
Las simulaciones muestran que aproximadamente un 17% de los troyanos iniciales de Júpiter son inestables, por lo que debieron ser expulsados en algún momento del pasado. El futuro a largo plazo de los troyanos es incierto por un comportamiento caótico con el tiempo causado por débiles resonancias con Júpiter y Saturno lo que reduciría su número. Además, los fragmentos eyectados de las colisiones entre troyanos también reducen lentamente su población.
En noviembre de 2018 Romina P. Di Sisto et. al. publicó The dynamical evolution of escaped Jupiter Trojan asteroids, link to other minor body populations en el que mediante simulaciones numéricas confirman la existencia de troyanos inestables. Hay una asimetría real entre L₄ y L₅ y que la tasa de escape de troyanos de L₅ es 1,1 veces mayor que en L₄. En asteroides con diámetro D>1 km. establecen dicha tasa en 18 troyanos expulsados de L₄ y 14 troyanos L₅ cada millón de años.
El tiempo de vida promedio de los troyanos escapados en el Sistema Solar es de 264.000 años para L₄ y de 249.000 años para L₅. Casi el 90% troyanos que escaparon cruzaron la zona de los Centauro y sólo los troyanos L₄ llegaron a la zona transneptuniana. Los centauros son un tipo entre asteroides y cometas, de ahí su nombre, que orbitan alrededor del Sol entre Júpiter y Neptuno.
La contribución de L₄ a los Centauros y TNO, es varios órdenes de magnitud mayor que la de L₅. Teniendo en cuenta la eliminación por colisiones, además de la dinámica, y suponiendo que los troyanos que escapan por colisiones siguen el mismo comportamiento que los eliminados por la dinámica, tendríamos una pequeña contribución de los troyanos a los cometas y centauros.

Las órbitas de herradura de los satélites de Saturno Jano y Epimeteo

Jano y Epimeteo son satélites coorbitales naturales de Saturno. Dos satélites coorbitales ocupan la misma órbita. Es decir están en resonancia 1:1. Estos satélites están en una curiosa órbita de herradura. También son coorbitales con Júpiter los asteroides troyanos que preceden o siguen a 60º de Júpiter.
Los astrónomos asumieron que había sólo un cuerpo en esa órbita, y como es evidente, era imposible reconciliar las observaciones de dos objetos distintos interpretándolos como si fuesen uno sólo.

  El descubrimiento de Jano se atribuye al astrónomo francés Audouin Dollfus que el 15 de diciembre de 1966 observó a uno de los dos desde el Observatorio de Pic du Midi. Es difícil saber a cuál de ellos. El 18 de diciembre, Richard L. Walker hizo una observación similar que se acredita ahora como el descubrimiento de Epimeteo. Doce años después, en octubre de 1978, Stephen M. Larson y John W. Fountain de la Universidad de Arizona comprendieron que las observaciones de 1966 se explicaban mejor si había dos objetos distintos (Jano y Epimeteo) compartiendo órbitas muy similares.
Cuando ya se conocía su duplicidad, Jano fue observado también por la sonda Pioneer 11 al pasar cerca de Saturno, el 1 de septiembre de 1979 y por la sonda Voyager 1 el 1 de marzo de 1980, En ese momento Jano se movía por dentro de la órbita de su gemelo, Epimeteo, que en ese momento era el más exterior.
La distancia de Jano a Saturno es 152.045 km. y la de Epimeteo es 152.050 km: una separación de sólo 5 km. Las dimensiones de Epimeteo son 130×114×106 km. con una masa de 5,266x10¹⁷ kg. Mientras que Jano es más grande y pesado. Mide 203×185×1526. con una masa de 1,8975 x10¹⁸ kg. Al desplazarse casi en la misma órbita viajan a velocidades muy similares, pero el satélite interior va ligeramente más rápido que el exterior, por lo que lo adelanta lentamente. Parece inevitable que se produzca un choque entre ambos, pero cuando se acercan entre sí su mutua atracción gravitatoria altera su cantidad de movimiento: el satélite interior gana cantidad de movimiento, se mueve hacia una órbita superior y pierde velocidad. El satélite exterior pierde cantidad de movimiento, se mueve hacia una órbita interior donde gana velocidad.

Fig. 10 A) Epimeteo va a menor distancia de Saturno y es ligeramente más veloz que Jano que va por el exterior. La distancia entre las órbitas es de 40 Km. inferior al tamaño de los objetos, así que van a chocar. B) Jano y Epimeteo al acercarse sienten una fuerza atractiva igual pero de sentidos contrarios que frena a Jano y acelera a Epimeteo. Es decir intercambian cantidad de movimiento. Como Epimeteo es 3,6 veces menor el incremento de velocidad es 3,6 veces mayor que la pérdida de Jano C) El frenado a Jano le lleva a una órbita 10 km. inferior y la aceleración de Epimeteo a una órbita 70 km. superior. Siguen estando en órbitas a 40 km. pero con intercambio de posiciones y Jano, ahora por dentro y más veloz, se aleja de Epimeteo. En 4 años se repite el intercambio y volverán a sus órbitas iniciales.

En pocas palabras: los dos satélites intercambian sus posiciones, el satélite interior se convierte en exterior y empieza a rezagarse. Ahora bien como la masa de Jano es 3,60 veces más masivo que Epimeteo la oscilación en su órbita es menor que la de Epimeteo. Cuando van a chocar, Jano que va por fuera, disminuye su órbita de 152.050 km. a 152.040 km. y Epimeteo, que a por dentro, pasa 152.010 km. a 152.080 km., así que intercambian los papeles y Epimeteo que iba a alcanzar a Jano ahora va más despacio que Jano y se aleja. Este hecho se repite cada cuatro años pero al revés. El 21 de enero de 2006 ocurrió uno de estos periódicos acercamientos. Hasta donde se conoce, esto es único en todo el Sistema Solar.

Fig. 11 Distancias orbitales (desde el centro de Saturno) de Jano y Epimeteo durante 26 años. Crédito: NASA / JPL / David Sello en Planetary.org.

Fig. 12 Evolución de la órbita Epimeteo-Jano desde un punto de vista que se está rotando cerca de la velocidad orbital de Jano. Epimeteo orbita en una forma de herradura con respecto a Jano. Crédito: Wikipedia Commons.

En la fig. 12 vemos que en un sistema rotante Epimeteo recorre la mayor parte de la órbita mientras Jano que tiene 3,6 veces más masa recorre una pequeña parte de la órbita. Además el ancho de la órbita de Epimeteo es mucho mayor que la de Jano como corresponde a un cuerpo menos masivo y que por tanto sufre una mayor variación en su velocidad por la interacción con Jano. Veremos posteriormente órbitas de herradura de dos cuerpos de masas similares que se reparten por igual (180º) el arco de la órbita y cuerpos uno más masivo que el otro, donde podemos considerar al primero inmóvil y al segundo recorrer todo el arco acercándose por ambas partes hasta una distancia equivalente al radio de Hill.
¿Se puede calcular el arco que recorre cada cuerpo en el caso de una relación de masas m? Al respuesta es sí y es un problema similar al cálculo del centro de masas. Es decir 

¿Se puede calcular las velocidades angulares y los periodos en que cada uno recorre su órbita hasta un próximo encuentro?
La verdad es que en principio esto dependería de si es Epimeteo (E) o Jano (J) el que va por dentro. Pero la diferencia, hechos los cálculos, es despreciable. En el primer caso: T_E=0,69961 d=16,7926 h. T_J=0,699968 d=16,7992 h.
El movimiento medio n_E=21,4380º/h mientras n_J=21,4296º/h.
La diferencia en movimientos medios 𝜟n=8,408x10⁻³ º/h=0,2018º/día.
Por tanto el periodo entre dos encuentros es 360º/0,2018º/día=1.784 días.
Y las velocidades angulares de Epimeteo 281º,8/1784d=0,158º/día y de Jano 78º,2/1784d=0,044º/d. En el otro caso T=1771d. Pero n casi igual 0,159 y 0,044.

Órbita de herradura

Una órbita en herradura es un tipo de movimiento de dos cuerpos co-orbitales alrededor de un tercero muy grande. Dado que están en resonancia 1:1 los períodos orbitales son parecidos. Además se observan desde un sistema giratorio que mantiene fijo a uno de los cuerpos. Su trayectoria parece tener una forma de herradura. Cuando el objeto se acerca al cuerpo más grande en cualquiera de los extremos de su trayectoria, su dirección aparente cambia. A lo largo de todo un ciclo, el planeta más pequeño traza el contorno de una herradura, con el cuerpo más grande entre los cuernos.
Las lunas de Saturno, Epimeteo y Jano, están entre sí en órbitas de herradura. Algunos asteroides están en órbitas de herradura con respecto a la Tierra como 54509 YORP, 2002 AA 29 , 2010 SO 16 , etc...

 Fig. 13 Dos planetas un Júpiter hipotético a 1 U.A. y la Tierra en órbita de herradura visto desde un sistema giratorio que mantiene a Júpiter fijo. Cómo Júpiter es mucho más masivo que la Tierra apenas se mueve mientras que la Tierra sigue una ruta de herradura (mostrada en amarillo). Cortesía de Sean Raymond (enlace) Un sistema planetario de herradura

Explicación del ciclo orbital de herradura 

Supongamos un asteroide que se encuentra en una órbita alrededor del Sol con el mismo periodo que la Tierra y que representado en un sistema coordenado giratorio ligado al Sol y la Tierra tiene una órbita de herradura.

Fig. 14 La Tierra y un asteroide están en resonancia 1:1. En los párrafos siguientes se describe esta órbita.

Es necesario comprender la dinámica órbital. El asteroide está en órbita elíptica alrededor del Sol. El asteroide siempre orbita el Sol en la misma dirección que la Tierra. La órbita de herradura surge debido a que la atracción gravitatoria de la Tierra cambia ligeramente esta órbita. Como hemos visto en Jano y Epimeteo el cuerpo más cercano al Sol completa la órbita más rápidamente que el cuerpo más alejado. Si un cuerpo acelera por la atracción de otro cuerpo su órbita se mueve hacia afuera del Sol. Si por el contrario desacelera, se acerca al Sol. Este cambio es tanto mayor cuanto menor masa tiene el cuerpo. Por tanto la Tierra tiene un ligerísimo movimiento de vaivén hacia L₁ y L₂.

Cuando el asteroide orbita más cerca del Sol que la Tierra va más rápido y la adelanta, por el contrario, cuando va más alejado va más lento que la Tierra y es ésta la que adelanta al asteroide. En un sistema giratorio con la Tierra fija parece alejarse en dirección contraria. Ambas situaciones junto a los momento que el asteroide da el salto de interior a exterior, que han sido ya explicados en Jano y Epimeteo forman el contorno de una herradura de donde recibe el nombre.

Supongamos que la órbita del asteroide comienza en el punto A, cerca de la Tierra y del punto L₅  y por el interior. El asteroide  está orbitando más rápido que la Tierra y está en camino de pasar entre la Tierra y el Sol. Pero la gravedad de la Tierra ejerce una fuerza de aceleración hacia el exterior, llevando al satélite a una órbita más alta en que (según la tercera ley de Kepler) disminuye su velocidad angular. Cuando el asteroide llega al punto B, está viajando a la misma velocidad que la Tierra. La gravedad de la Tierra sigue acelerando al asteroide a lo largo de la trayectoria orbital, y continúa llevando al satélite a una órbita más alta hasta el punto C. 

Entonces el asteroide alcanza una órbita lo suficientemente alta y lenta como para que comience a rezagarse de la Tierra girando aparentemente en movimiento contrario de C a D en un movimiento que tarda varios años. En D, la gravedad de la Tierra la hace aumentar su velocidad y cae a una órbita más baja, hasta el punto E. Ahora va más rápido que la Tierra y se aleja durante muchos años. Esto continúa hasta el punto E, donde la órbita del satélite ahora es más baja y más rápida que la órbita de la Tierra , y comienza a alejarse de la Tierra hasta el punto A.

Calculemos para el sistema de dos planetas un Júpiter hipotético a 1 U.A. y la Tierra en órbita de herradura tratado por Sean Raymond en Un sistema planetario de herradura.

Al igual que hemos hecho con Jano y Epimeteo el hipotético sistema con Júpiter y la Tierra coorbitales a la distancia de 1 U.A. Júpiter se mueve en un arco de ancho 1º,128 mientras la Tierra da la vuelta casi completa de 358º,87.

El ancho de la órbita de la Tierra es una función simple de la masa del planeta. Al igual que la esfera de Hill, el ancho de la región de la herradura aumenta con la raíz cúbica de la masa del planeta. Júpiter es 318 veces la masa de la Tierra, por lo que su ancho de la órbita de herradura de la Tierra es de aproximadamente (318)^(1/3) aproximadamente 6,8% veces la distancia de la Tierra al Sol, es decir 10,2 millones de Km. Esto es aproximadamente el radio de Hill de Júpiter cuando hipotéticamente está a 1U.A. Así cuando la Tierra va por el interior de la órbita va a una distancia media del Sol de 144,5 millones de km. por lo que tardaría 346,7 días en dar la órbita. Júpiter apenas se mueve va por fuera, pero el ancho es (1/318)^(1/3)=0,146%=219.200 Km. Así su distancia media al Sol es 1,0007U.A.empleando 365,64 días. Así los movimientos medios de la Tierra y Júpiter  son respectivamente 1,03834º/día y 0,98457º/día. Así la Tierra se aleja de Júpiter con un movimiento medio de 𝛥n=0,05377º/dia empleando 358º,87/0,05377= 6.674días=18,3 años.

Luego Sean Raymond trata de la habitabilidad de ésta Tierra en el periclo de 18 años por dentro y los 18 años por fuera y dado que nosotros no vamos a seguir por ahí, recomendamos su lectura.

Un caso distinto es cuando los dos planetas en órbita de herradura tienen masas parecidas o iguales. Ahora se reparten el espacio por igual correspondiendo media circunferencia a cada uno.

Fig. 15 Ruta orbital de dos planetas de masa iguales en una configuración de herradura. Este cálculo se ha realizado para planetas de masas 80 Mt. Para los planetas de la masa de la Tierra, la dinámica sería similar, pero las oscilaciones serían mucho menos pronunciados. Cortesía de Oklo.org.

Estabilidad

Hemos aprendido mucho de los cuerpos en resonancia 1:1 o coorbitales. ¿Pero son estables estos cuerpos? Pueden existir Planetas Troyanos, o planetas en órbita de herradura. Como hemos visto, las cosas son distintas si los cuerpos en órbita tadpole o herradura son de masas parecidas o uno mucho mayor que otro. Un parámetro útil es la relación entre las masas de Júpiter y el Sol que es 9,547x10⁻⁴.

• Si se tratase de dos enanas marrones en el límite de serlo m=12 mJ  girando alrededor de una estrella como el Sol 𝜇=24x9,547.10⁻⁴=0,0229<0,038 luego todavía estables pero en el límite.
• El problema es la existencia de sistemas más complicados, como si al sistema se añade un tercer planeta. El sistema TOI-178 tiene un tercer planeta interior. Lo que han demostrado Adrien Leleu y otros, con su trabajo, es que desde un punto de vista de la estabilidad ello es posible. Pero no olvidemos que de momento son planetas candidatos Tess.

Fig. 16 Los dominios de estabilidad para los candidatos coorbitales del sistema TOI-178. a) como una función de la masa de los dos planetas coorbitales, fijando m₃ =2,5x10⁻⁵M; y b) como una función de la suma de las masas de los dos planetas coorbitales y el planeta interno m₃. Las líneas punteadas representan la intersección de las condiciones iniciales a) y b). El código de colores es: los puntos negros representar órbitas estable por encima de 10¹º períodos orbitales. Los pixeles grises son los que a largo plazo son inestable, y los pixeles blancos son los términos inestables a corto plazo.

Igual pasa con los planetas coorbitales Kepler-132 b y c o de Kepler-271 b y d que están acompañados por dos o un planetas externos respectivamente, pero no hemos encontrado estudios de estabilidad similares a la fig. 16 para TOI-178.

El menos masivo de los dos planetas coorbitales es, el que tiene una amplitud de libración alrededor del puntos Lagrange de equilibrio más grande.

• Las configuraciones de herradura para ser estables necesitan condiciones más estrictas 𝛍<0,0004. (Garfinkel 1976; Érdi 1977; Niederman et al. 2018).
• En el caso hipotético de Júpiter y la Tierra coorbitales y tratado por Sean Raymond es inestable pero en el límite de la estabilidad. Bastaría cambiar Júpiter por un planeta de masa 0,4 Mj.

Así pues cuando ambas masas son similares a la masa de Saturno aunque más baja, los dos planetas coorbitales pueden estar en una órbita de la herradura estable. Para planetas como dos jupíteres 𝜇=1,91x10⁻³>4x10⁻⁴ y la configuración de herradura es inestable.

Resumen

Cuerpos coorbitales son dos o más que giran en la misma órbita. Es decir están en una resonancia 1:1.

Los asteroides troyanos son coorbitales, ellos oscilan a 60º de Júpiter o del planeta del que son troyanos. El menos masivo de los dos planetas coorbitales es, el que tiene una amplitud de libración alrededor de los puntos Lagrange de equilibrio más grande. Su órbita se llama tadpole. 

Hasta la fecha estamos a punto de descubrir planetas troyanos, si no los hemos descubierto ya.

También son coorbitales los satélites de Saturno Jano y Epimeteo que distan en sus órbitas menos que la suma de sus diámetros. Estos últimos constituyen órbitas de herradura si consideramos un sistema giratorio con uno de los satélites y expresamos el movimiento del otro. Los cuerpos con órbitas de herradura son como troyanos cuya amplitud es tan grande que se pueden intercambiar entre los puntos de Lagrange L₄ y L₅.

Los planetas en órbitas de herradura no han sido descubiertos todavía. Atendiendo a su estabilidad por la masa son menos abundantes que los planetas troyanos, pero pueden existir.

Otros asteroides son cuasisatelites es decir un objeto que, orbitando en torno a una estrella, se encuentra en resonancia orbital 1:1 con un determinado planeta. Describen órbitas que son coorbitales con el planeta pero de diferente excentricidad. Debido a esta resonancia, el objeto puede mantener una órbita relativamente estable durante largos periodos de tiempo con el planeta. 

Fig. 17 El asteroide Cruithne es un NEO que orbita el Sol a 0,998 U.A. en 364 días y excentricidad e=0,515. Si consideramos un sistema giratorio con la Tierra fija, (3753) Cruithne parece orbitar la Tierra. Fue descubierto en 1986 y su movimiento fue descrito por Paul Wiegert et. al. en 1997. Cruithne tiene 5 km de diámetro, y en su aproximación máxima a la Tierra se acerca a tan sólo 12,5 millones de km. (30 veces la distancia entre la Tierra y la Luna) cosa que ocurrirá en 2289 como ya sucedió en 1902. Tarda 387 años en su ciclo. Luego orbitará a una distancia ligeramente superior a la de la Tierra.

A diferencia de los verdaderos satélites, los cuasisatélites orbitan fuera de la esfera de Hill de su planeta, que es la zona en la que la fuerza gravitatoria que ejerce el planeta domina sobre las fuerzas gravitatorias de su estrella. Como consecuencia de ello, las perturbaciones gravitatorias externas tenderán a alterar la órbita del objeto, pudiendo eventualmente desvincularlo de la resonancia con el planeta. La Tierra tiene 9 cuasisatélites conocidos. Se calcula que todos ellos permanecerán en durante miles de años o incluso más tiempo. Venus tiene un cuasisatélite, 2002 VE68 que también cruza las órbitas de Mercurio y la Tierra. Su estabilidad será mucho menor, ha estado acompañado a Venus durante los últimos 7.000 años, y será expulsado dentro de unos 500 años. No se han encontrado cuasisatélites de los cuatro gigantes del Sistema Solar, lo que no significa no puedan existir. 

En el Sistema Solar existen asteroides troyanos, en órbita de herradura y cuaisatélites pero ninguno ni de lejos se acerca al tamaño de un planeta. En los sistemas extrasolares estamos a punto de descubrir este tipo de planetas. La famosa astrofísica dedicada a la búsqueda de exoplanetas Sara Seager del MIT en el prólogo de Exoplanets dice:

So many surprising discoveries have been made that by now we know to expect the unexpected.

Es decir, en exoplanetas, mientras algo no este físicamente prohibido, existe, y tarde o temprano acabaremos por descubrirlo. Los planetas troyanos o en órbitas de herradura no están físicamente prohibidos y el alicantino Jorge Lillo-Box espera encontrarlos si no lo ha hecho ya.

Los calendarios y la fecha de la Pascua gregoriana

Desde hace muchos años he contado la historia de que la fecha del domingo de Pascua es el primer domingo después de la primera luna llena de la primavera. Naturalmente en el hemisferio norte. Para mi, amante de la astronomía es un bello hecho que implica saber cuando es la Primavera (20, 21 de marzo), saber cuando es la primera luna llena de la primavera y esperar al domingo siguiente. Hace pocos días mi amigo Paco Burguera me indicó, en estas charlas de jubilados en la que por cierto, no cuidamos obras ni alimentamos a las palomas, que en 2019 esto es falso. La primavera empieza el 20 de marzo a las 21h 57m TU y hay luna llena el 21 de marzo del 2019 que es jueves, así que la Pascua debería ser el domingo 24 de marzo. Sin embargo una consulta al calendario y resulta que es el domingo 21 de abril después de la segunda luna llena de la primavera, que ocurre el viernes 19 de abril. A la primera fecha le podremos llamar pascua astronómica. A la segunda, pascua eclesiástica y en 2019 no coinciden. 

Para mí físico, catedrático de Matemáticas jubilado en el IES Luis Vives de València y que a lo largo de mi vida académica he dado en Informática, programación en Visual Basic y Applets de Java, a los alumnos de ciencias de 2º de Bachiller, el algoritmo de Gauss del cálculo de la Pascua ha sido un motivo recurrente. Fue fascinante observar una excepción en una regla que consideraba siempre válida, por lo menos tras la implantación del calendario gregoriano en 1582. Así que decidí investigar más y el resultado es, cuanto menos, curioso. Por cierto no se preocupen el algoritmo de Gauss calcula para la Pascua de 2019 el domingo 21 de abril.

Fig. 1 Cálculo de la fecha de la Pascua en 2019 por el algoritmo de Gauss.

Calendarios gregoriano, hebreo y musulmán

Los tres calendarios que vamos a tratar tienen una procedencia religiosa. Un calendario necesita una unidad, un origen o inicio en el tiempo y un objeto astronómico de referencia. Normalmente el origen es una acontecimiento histórico para estas religiones, que obviaremos. La unidad es el día y tiene en las tres un múltiplo común la semana de 7 días, que obviamente se relaciona con las fases de la Luna. En las tres religiones hay un día de descanso u oración que es el viernes (al-yuma’a) en la musulmana, shabat para los judíos y el domingo para los cristianos. Otro múltiplo es el mes y el año. El calendario es el intento de que el mes o año civil que tiene una duración en días entero, represente al mes lunar o al año solar cuya duración es un número irracional. Así que la perfección es inalcanzable.

Los tres calendarios son diferentes porque usan objetos de referencia distintos. El nuestro, el gregoriano usa al Sol, es un calendario solar. El calendario musulmán usa la Luna, es un calendario lunar, mientras el hebreo usa a la vez al Sol y a la Luna es una calendario lunisolar. En los calendarios hebreo y musulmán el mes, es el mes lunar. Cada mes se inicia con la luna nueva y acaba con la siguiente. 

En un principio el calendario hebreo y musulmán eran observacionales, necesitan de una observación del creciente lunar para empezar el mes en el caso musulmán o comprobar si la cebada está madura y si no es así, introducir un mes más, haciéndolo embolístico en el caso judío.

Siendo rigurosos, en el calendario musulmán, no se puede saber cuando empieza un mes y la duración que tendrá. Por tanto el comienzo del Ramadán puede tener una diferencia de un día o dos entre unos países y otros. El calendario musulmán sigue actualmente siendo observacional, no obstante existe una variante conocida como calendario musulmán tabular que tiene la duración de los meses fijada y a él nos referimos siempre a partir de ahora. En este sentido es computacional.

La duración del mes lunar o tiempo que tarda la Luna en repetir su posición relativa respecto a la Tierra y el Sol es de 29,5305891 días así que en modo rudo estos calendarios alternan meses de 29 y 30 días para conseguir un periodo medio de 29,5 días aproximado a la duración del mes lunar, pero no exacta, lo que lleva a otras complicaciones que veremos posteriormente. El mes en el calendario gregoriano tiene duraciones de 28, 30 y 31 días que vagamente se parecen al periodo sinódico lunar o al tiempo que tarda el Sol en cruzar cada uno de los 12 signos del zodiaco. Sus duraciones son arbitrarias y fruto de mil anécdotas. El año en el calendario musulmán tabular tiene 12 meses, 6 de 29 días y 6 de 30 por lo que dura 354 días añadiéndose un día extra en el último día del último mes del año llamado Dhu-al-Hijjah que pasa a tener 30 días. Estos años llamados embolísticos en el calendario musulmán tabular son similares a los bisiestos de nuestro calendario y hay 11 en un ciclo de 30 años. Así en el ciclo de 30 años hay 10.631 días y 360 lunaciones por lo que la duración del mes es de 29,53056 días que se acerca mucho más al mes lunar.

El hebreo, el gregoriano y el calendario musulmán tabular son ahora computacionales: hay unas reglas que nos dicen de antemano que años son embolísticos.

En los calendarios musulmán y judío las fase lunares están perfectamente fijadas mientras que en el gregoriano bailan a lo largo del mes. En los calendarios gregoriano y hebreo el comienzo de las estaciones está casi fijado mientras en el musulmán, el comienzo de las estaciones bailan por todo el calendario.

La Tierra tarda en dar una vuelta al Sol 365,2422 días. El calendario anterior al gregoriano, el calendario juliano, en honor a Julio Cesar, tenía 12 meses y 365 días. Cada 4 años se ponía un día extra a final de febrero y de esta forma el año civil tenía una duración de 365,25 días lo que excedía a la duración real. Vayan dos anécdotas: el año empezaba en marzo y acababa en febrero así que se añadía el día bisiesto el último día del año. El mes de julio (anteriormente quintilis, el quinto) tiene 31 días y le fue dado el nombre en honor a Julio Cesar. Años después a sextilis que tenía 30 días se le dio el nombre de agosto en honor al emperador Augusto. Pero claro no podía tener menos días que julio, ésta es la razón de que agosto tenga 31 días.

En 1582 el desajuste en el calendario juliano por la mayor duración del año era de unos 12 días lo que atrasaba la fecha del inicio de las estaciones, así la primavera empezaba sobre el 9 de marzo y hubiera acabado por caer en el más crudo invierno. Para solventarlo los astrónomos, entre los que estaba Chistoforus Clavius, sugirieron al papa Gregorio XIII que eliminara los 10 días que van del 5 al 14 de octubre de 1582, así el día siguiente al 4 de octubre fue el 15 de octubre. Para que esto no volviese a ocurrir, se quitaron los bisiestos seculares no divisibles por 400. Es decir de los años 1600, 1700, 1800, 1900, 2000, .... todos bisiestos en el calendario juliano, se quitaron tres y se mantuvieron como bisiestos 1600 y 2000 etc. Así la duración del año civil gregoriano es: 365+1/4-3/400=365,2425, que se parece mucho a la duración real. Los dirigentes de la iglesia ortodoxa no aceptaron la reforma de Gregorio XIII y siguieron con su calendario juliano. Hay pues una diferencia de 12 días entre ambos calendarios. Por ello, la revolución bolchevique en Rusia se llama Revolución de Octubre cuando según el calendario gregoriano ocurrió en noviembre. En el calendario juliano se han visto obligados a hacer variar el comienzo de la primavera, así aunque lo normal es que la pascua ortodoxa se celebre con unos días de retraso respecto a la católica, pueden llegar a coincidir.

En el calendario musulmán tabular ya que en un ciclo de 30 años hay 10.631 días, el año tiene una duración media de 354,3666...  días. Así que es 10,8758 días más corto que el gregoriano. El inicio y fin de los meses y año y sus fiestas, aunque todas son fijas en el calendario musulmán, se adelantan casi 11 días en sus fechas en el calendario gregoriano, tardando 33,6 años en recorrer todo el año gregoriano. Los principios de las estaciones pueden ocupar cualquier mes del calendario.

El calendario hebreo es lunisolar necesita ajustar la duración del mes a la revolución lunar y su año a la solar por los que es mucho más complicado. Se basa en un hecho conocido desde la antigüedad: el ciclo de Meton. Hay un común múltiplo de los ciclos solar y lunar. En 19 años tropicales hay 235 meses lunares sinódicos. En efecto:

235 lunaciones sinódicas=235x29,5305891=6.939,688 días

19 años tropicales=19x 365,2422=6939,602días

La discrepancia apenas alcanza 0,086 días=2 horas.

Cada 19 años las fases de la Luna ocurren en las mismas fechas. El ciclo debe su nombre a Meton (460 a.C.) un matemático, astrónomo, geómetra ateniense. Pero parece que este ciclo era conocido en Mesopotamia en el siglo VI a.C. El ciclo se usa en los calendarios lunisolares y por tanto en el calendario hebreo. El último mes del año hebreo se llama Adar y tiene 29 días. En un ciclo de 19 años hebreos hay: 7 años embolísticos de 13 meses lunares y 12 años de 12 meses.

Los años embolísticos son similares a los bisiestos, sólo que en vez de añadir un día, añaden un mes (Adar I) de 30 días, que se coloca antes del último mes del año que es Adar, que estos años se llama Adar II. De esta manera el año civil lunisolar intenta parecerse al año solar. Además y para adaptarse a las fases lunares a semejanza del calendario musulmán tabular se añade o quita un día (y ésta es la novedad respecto al calendario musulmán tabular). En un ciclo de 19 años hay 5 años regulares donde no se añaden días. 5 años deficientes donde se quita 1 día y 9 años completos donde se añade 1 día. Esto funciona tanto si el año es embolístico como si no. En resumen hay 6 tipos de años:

Fig. 2 Duraciones de los diferentes tipos de años en un calendario hebreo.

Ahora contemos el número de días que hay en esos 19 años:

7 años embolísticos y 12 no embolísticos y todos ellos regulares tienen:

7x384+12x354=6.936 días. Aparte, 9 de los años son completos, por lo que hay que añadir 9 días y 5 son defectuosos, por lo que hay que restar 5 días, es decir, en el ciclo de 19 años judíos hay 6.940 días.

En el calendario gregoriano, en los 19 años siempre hay 5 bisiestos, así que el total de días es  15x365+5x366=6.940.

Así que el mes medio judío tiene una duración 29,5319 días. Recordemos que el mes sinodico lunar dura 29,5305891 y el mes medio musulmán 29,53056 días.

El año medio judío dura 365,2631 días mientras que el real es 365,2422 días y el año medio del calendario gregoriano dura 365,2425 días.

¿Donde se  añaden/quitan los días en los años deficientes, regulares y completos?

El año empieza con el mes de Tishrei que tiene 30 días. El segundo y tercero es donde se hacen los cambios. Jeshván el segundo mes tiene 29 ó 30 y el tercero Kislev 30 o 29 días según la tabla:

El cuarto mes Tevet tiene 29 días.

En el calendario hebreo los años embolísticos tienen por objetivo fundamental ajustar a la duración del año real, mientras que, el quitar o añadir un día tiene por objetivo ajustar a las fases de la Luna.

Dado que el calendario gregoriano y hebreo tienen una duración media del año tan similar, si el año gregoriano es AG, para obtener el año judío AJ, hay que sumar una cantidad constante de 3.760 años. En cambio, el año musulmán tabular tiene una duración de 0,970223=65/67 años gregorianos lo que unido a su origen en el 621,54 por la Hégira, hace que la relación entre el año gregoriano A y el musulmán H sea A=0,970223H+621,54 mientras la transformación inversa es H= 1,03069(A-621,54). El año 2019 de nuestro calendario corresponde a los años 1440 y 1441.

El año hebreo tiene una duración muy variable que hace que comience en septiembre u octubre. Así los nueve o diez primeros meses corresponde al año calculado y los últimos tres meses al siguiente. Por ejemplo el año hebreo 5779 corresponde aproximadamente a los primeros 9 meses de 2019 y el último trimestre ya es del año 5780.

Para saber si un año judío es embolístico hay que dividir por 19. Si los restos de la división son 0, 3, 6, 8, 11,14, 17 el año es embolístico. En caso contrario, no.

En el calendario gregoriano la fecha de los equinoccios está perfectamente fijada a 20 o 21 de marzo. El mantenimiento del bisiesto de 1600 la llevó al 20 de marzo, con los 400 años de duración del año en 365,25 volvió al 21 y ahora con el bisiesto de 2000 es, otra vez, el 20 de marzo. Pasarán bastantes años antes de que vuelva a ser el 21, antes de que el año 2400 la devuelva al 20 de marzo.

Fig. 3 El comienzo de la primavera en el calendario gregoriano en el periodo de 19 años de 2016 a 2034. Siempre es el 20 de marzo y cambia la hora. Los mínimos corresponden a los años bisiestos debido a la introducción del 29 de febrero. De bisiesto a bisiesto, la hora disminuye aproximadamente ¾ de hora, a causa de que el año dura una fracción de día de 0,2422x24=5,813 horas y en los cuatro años son 23,25 h. Al añadir el día bisiesto 23,25-24= -0,75 h. Esto es lo que se llama declive de los bisiestos. En un siglo adelantaría el equinoccio 0,75x25=18,75 h. Pero la reforma gregoriana hace que 2100, que debería ser bisiesto, no lo sea, así que el inicio de la primavera se retrasa 24-18,75=5,25 h. Es decir de 2100 a 2400 el principio de la primavera se retrasa 5,25x4=21h. Pero llega 2400 que es bisiesto, con lo que en el ciclo de 400 años sólo hay un retraso de 3h (exactamente 2h53m).

 

Fig. 4 El comienzo de la primavera en el calendario gregoriano en las proximidades del año 2300. Ese año no es bisiesto y desde 2296 al 3004 no hay bisiestos con lo que el inicio de la primavera se retrasa más allá de las 16 h. del 21 de marzo (del libro Hemerología de Wenceslao Segura). La imagen ha sido ligeramente cambiada para eliminar errores.

Fig. 5 Ciclo de 400 años de los bisiestos del calendario gregoriano. AE representa el declive de los bisiestos del año 0 al 96, que representa un adelanto de 17h58m., que el año 100 no sea bisiesto, representa un atraso hasta el año 103 de (–0,7488-0,2422x7=0,9466d=22h43m.). Luego viene el bisiesto 104 y el atraso disminuye a 0,1888 d=4h32m. con el declive de los bisiestos del año 104 al 196. Ese año el adelanto es (–0,7488+0,1888)d=13h 26m y el ciclo sigue hasta el año 400 que es bisiesto. En el año 400 el retraso es de sólo –0,12 d=2h53m y el nuevo ciclo de 400 años se repite añadiendo ese desfase.

El año medio hebreo es muy parecido al real y a largo plazo, la fijación del comienzo de las estaciones esta asegurada. Pero la gran variabilidad del año hebreo, hace que a corto plazo, el equinoccio de primavera tenga una gran variación de hasta 27 días.

Fig. 6 Los mismos 19 años de la figura 3 están ahora calculados para el calendario hebreo. El 0 representa el día 15 de Nisan fecha de la luna llena. La primavera ocurre con esos días de adelanto respecto a esta fecha. Como el periodo lunar es de 29,5 días hay 4 años en el ciclo, en que antes del 15 de Nisan, hay otra luna llena en la primavera. Corresponde a los años hebreos 5776, 5779, 5784 y 5787 todos embolísticos y que corresponden a los años 2016, 2019, 2024 y 2027.

La fig. 6 puede verse desde un punto de vista del calendario gregoriano de la siguiente manera: los trozos rectilíneos representan siempre el 20 de marzo y al cabo de los día señalados, en cada caso, ocurre una luna llena que será la primera de la primavera excepto en 4 años del ciclo.

Vamos a usar el ciclo de 19 años del 5776 al 5794 del calendario hebreo para saber ¿qué tipo de año son? Para ello se puede usar cualquier fecha pero usaremos el 15 Nisan.

Fig.7 El ciclo hebreo de 19 años y los años embolísticos, completos, deficientes y regulares en el ciclo.

Las fiestas en los calendarios

En el calendario gregoriano hay fiestas fijas como Fallas (19 de marzo, pero que en principio se relacionaba con el equinoccio de Primavera), Navidad etc. y fiestas móviles como la Pascua. Otras muchas son móviles pero relacionadas con la Pascua  por ejemplo: miércoles de ceniza, 46 días antes de la Pascua o el corpus 60 días después.
En el calendario musulmán no hay  fiestas móviles. Todas tienen su fecha fija como el 30 de Ramadan que señala el fin del mes del ayuno y la pascua pequeña que ocurre al día siguiente 1º de Chawwal. Otras fiestas importantes son el 10 de Dhu-al-Hijjah (Pascua grande o Fiesta del cordero) o el nacimiento del Profeta que se celebra el 12 de Rabi' al-awal.

La fecha de la Pascua gregoriana

Las tres religiones tienen una fiesta de la Pascua pero con significados muy diferentes, aunque con aspectos comunes.
La Pascua hebrea (Pésaj) se celebra el 15 Nisan y festeja a salida de Egipto y el fin de la esclavitud. Es la fiesta del peregrinaje y se relaciona con el consumo de alimentos no fermentados. Es la fiesta del pan ácimo. En ella se sacrifica un cordero pascual y como señal de aprovechamiento se consume todo de él.
La Pascua cristiana celebra el martirio de Jesús en la cruz. Esto ocurre cuando el pueblo hebreo celebra el sacrificio del cordero, razón por la que el evangelista san Juan identifica a Jesús con el cordero pascual.
Es una fiesta variable y por esto estamos escribiendo esta entrada.
La fiesta musulmana del cordero conmemora la petición a Abraham (por cierto un patriarca común a las tres religiones) de matar a su hijo Ismael y cómo Abraham no duda en ejecutar el mandato divino, éste le pide que cambie su acción por el sacrificio de un cordero. Puedes pensar que me he equivocado, que el hijo no es Ismael si no Isaac, pero es que ésta es la única diferencia entre la tradición musulmana y la hebrea y cristiana. Pero volvamos a lo nuestro, la determinación de la fecha de la Pascua.
El día hebreo, al igual que el musulmán, empieza a la puesta del Sol. Cuando el Sol se pone el 14 Nisan, ha transcurrido medio mes lunar y es luna llena. La fecha de la Pascua judía es una fecha fija, el 15 Nisan. El mes de Nisan empieza como muy pronto el 13 de marzo, el equinoccio de primavera ocurre como mínimo 7 días antes de la luna llena, así que la luna llena del mes de Nisan ocurre seguro tras el equinoccio de primavera. Es más, como hemos visto, en 4 ocasiones durante el ciclo no es la primera luna llena de la primavera.

Por motivos puramente religiosos los católicos no quisieron que ambas Pascua, la hebrea y la católica coincidieran. Los católicos decidieron retrasar la Pascua al domingo siguiente. Como la Pascua hebrea puede caer en cualquier día de la semana, decidieron, que si la Pascua hebrea caía en domingo, la retrasaban al domingo siguiente.

El fallo de la regla

Sabemos que la aseveración, la fecha del domingo de Pascua es el primer domingo después de la primera luna llena de la primavera es falsa. Este año es la prueba. Pero ¿cuántas excepciones hay?

Cojamos el anterior ciclo de 19 años:

Fig. 8 La regla del cálculo de la Pascua católica en un ciclo de 19 años.

El * significa que la luna llena cae en domingo y se retrasa una semana.

Vemos que la regla funciona perfectamente excepto para 2019.

La relación entre la Pascua hebrea y católica

La relación entre la Pascua hebrea y católica es muy estrecha ¿sería posible que los católicos hubieran asumido que la pascua es el domingo siguiente al 15 de Nisan hebreo? Para averiguar cogemos los mismos 19 años:

Fig. 9 El 15 de Nisan y la fecha de la Pascua católica.

El * significa lo mismo. Hay dos, en vez de tres, porque no es lo mismo que la primera luna llena y el 15 Nisan caiga en domingo, ya que, aunque el calendario hebreo es bastante perfecto, a veces hay un ligero desfase de un día y el 15 de un mes no es luna llena.

Observamos que a diferencia de la pascua astronómica, para 2019 no hay excepción porque realmente en el año 5779 el 15 Nisan no es la primera si no la segunda luna llena de la primavera, como en el calendario gregoriano. Por tanto los cristianos no procedieron a copiar la pascua hebrea porque falla no una si no tres veces, en años embolísticos. Aunque hay 4 embolísticos que lo cumplen.

Listando los años de la no coincidencia de las pascuas astronómica y eclesiástica

Podemos averiguar ¿en qué años aparte de 2019 falla la regla? Sí y tiene que ver con el ciclo de 19 años:

Fig. 10 Listado de las excepciones a la regla.

Vemos que cada 19 años y empezando por 2019, cuando la luna llena queda a menos de un día del principio de la primavera, se produce la excepción. Hemos tenido que poner la hora del principio de la primavera y de la luna llena porque el lapso entre ellas es muy ajustado. En el año 2000, la luna llena de marzo ocurre 3 horas antes del inicio de la primavera y no hay excepción.
Por tanto, 2019 es el primero de una serie. ¿acabará algún día? ¿se dio antes esta excepción desde la reforma gregoriana al año 2000?.

La probable razón de la excepción

No obstante aún no sabemos la auténtica razón. Desde el siglo III los cristianos empezaron a desarrollar un calendario eclesiástico lunisolar computacional con un único fin. No depender de los hebreos para calcular la pascua cristiana. Un gran avance, pues por aquellos tiempos el calendario hebreo era observacional para interponer el año embolístico. Ello requirió usar el ciclo metónico y unos depurados conocimientos astronómicos que sólo se poseían en Alejandría.

Durante la reforma del calendario gregoriano hubo que dar un salto en los valores de los conceptos que se usaban para calcular la pascua católica. A modo de enunciación estos son:

El número de oro o aúreo que indica el número de orden del año dentro del ciclo metónico de 19 años. Si A es el año, para calcularlo, se halla el resto de la división de (A+1) y 19.

La epacta del año es la edad de la Luna el día 1 de enero. Cada día del año tiene una epacta que es la edad de la Luna empezando por la luna nueva. Para calcular la epacta del año, se halla el resto de (B-1)x11 y 30, donde B es el número de oro. Se puede representar en números romanos. En 2019 el número aúreo es 6 y la epacta 25: XXV

La letra dominical del año, puede ser A, B, C, D, E, F y G. Corresponde al primer domingo del año. Por ejemplo en 2019 el primer domingo es el 6 de enero, luego le corresponde la letra F. Cada día del año tiene un letra dominical y el 1 de enero tiene la letra A. Como cada año normal de 365 días tiene 52 semanas y 1 puñetero día, la letra dominical de 2018 era la G y la de 2017 la A. El avance de una año provoca el retroceso de una letra. ¿Qué pasa con los bisiestos como 2020? Que le correspondería la E en los primeros dos meses. Si el 1 de enero tiene la A, el 28 de febrero le toca la C y al 1 de marzo la E. Así que a 2020 le corresponden la ED. Al bisiesto anterior 2016 la CB. La letra dominical del año tiene un ciclo de 28 años.

La Indicción Romana es un ciclo de 15 años que surgió en el siglo IV. Para calcularla para un año A, se halla el resto de (A+3) y 15. Así para 2019 le corresponde 12 o XII.

A partir del número aúreo, la epacta y la letra dominical del año se puede calcular la luna nueva pascual y 13 días después la luna llena pascual. El domingo pascual o fecha de la pascua eclesiástica es el primer día que contenga la letra A si es 2017, la G si es 2018, la F si es 2019 o la D si es 2020.

Los algoritmos de Gauss y Butcher se basan en el calendario eclesiástico gregoriano y por tanto, en ellos, no se nota la excepción, pues calculan la pascua eclesiástica.

La excepción a la regla se debe, con toda probabilidad, a un cálculo erróneo de la luna llena pascual cuando la fecha del equinoccio y la Luna llena que ocurre con posterioridad están muy próximas. Nótese que en 2016, el equinoccio de primavera ocurre el 20 de marzo a las 4 h. 30 m. y la luna llena, ocurre el 23 de marzo a las 11 h. 59 m. con un lapso de 79,5 h. Mientras en 2038, el lapso es 25,36 horas y hay excepción. Entre ambos valores está el límite por debajo del cual ocurre la excepción a la regla.

Posdata: Durante la escritura de esta entrada he profundizado en el conocimiento de los calendarios, y he vuelto a la pasión calculista de mi juventud. Cálculo del inicio de las estaciones, cálculo de los instantes de la luna nueva y llena, que se usan para calcular los eclipses, conversión de fecha de calendario a fecha juliana, cálculo del día de la semana de una fecha, cálculo de la Pascua usando el algoritmo de Gauss y Butcher. Y aprender algo que no sabía la excepción de la regla de que la fecha del domingo de Pascua es el primer domingo después de la primera luna llena de la primavera. Pero no olvides que es una excepción que empieza este año 2019 y no se repite hasta dentro de 19 años y múltiplos de esta cifra.